Bonsoir.
Je considère le vecteur colonne de Cⁿ, X = ^t(x,x,...,x).
J'appelle D le déterminant à trouver, je pose :
D = det(C₁,C₂, ... ,C_n) (C_j étant la jème colonne).
Posons d(x) = det(X + C₁, X + C₂, ... , X + C_n), déterminant obtenu à partir de D en ajoutant x à chaque terme.
Alors, à cause de l'antisymétrie, nous avons :
d(x) = det(C₁,C₂, ... ,C_n)
+ det(X,C₂, ... ,C_n)
+ det(C₁, X , ... ,C_n)
+
.
.
+ det(C₁,C₂, ... ,X)
Cela prouve que d(x) dépend de x au premier degré, donc que d est une application affine de x.
D'où d(x) = Ax + B, A et B complexes.
Naturellement, pour x = 0, on retrouve B = D.
Mais, si x = -b, on trouve aisément :



et, pour x = -a :



En supposant a et b distincts, on peut trouver D par résolution d'un système 2x2 :



Si a = b, je pense qu'il faut trouver une méthode pour étudier par dérivation :



Cordialement RR.

Bonjour.

J'ai commis une erreur de frappe hier soir. Je reprends.
On a donc bien d(x) = Ax + D, où D est le déterminant à calculer. On a le système :

D(-b) = -Ab + D = p(b)
D(-a) = -Aa + D = p(a)

Avec :



Si a et b distincts, la résolution donne :

.

(Dans le message précédent, j'avais mal tapé le numérateur).

Cordialement RR.

Merci d'avoir pris le temps de répondre. Tout ça est très clair.
J'aimerai bien savoir si c'est une méthode connue?

Bonjour Alex715.

C'est un procédé que j'enseignais en spé : en ajoutant x à chaque élément d'un déterminant, on construit une fonction affine de x. Ici, c'est intéressant car en prenant x = -b puis x = -a, on tombe sur des déterminants très simples.
Par contre, pour le cas où a = b, je ne trouve pas d'autre méthode que celle utilisant la dérivée, comme je le signalai dans mon premier message.

Cordialement RR.