Salut,

C'est assez simple si tu considères que le déterminant est le produit des valeurs propres

j'y avais pensé mais le probleme est comment tu arrives à relier les valeurs propres de A+B à celles de A et B ?

Bonjour.

1°) A et B admettent la valeur propre 0.

Dans ce cas, det(A) = det(B) = 0.
Comme A + B , det(A+B) 0
Donc : det(A+B) det(A) + det(B)

2°) A ou B n'admet pas la valeur propre 0.

Supposons que B n'admette pas la valeur propre 0.
Alors, B , et B définit un produit scalaire sur IRⁿ.
Il existe donc P GL_n(IR) telle que :
a) ^tP.A.P = D = diag(a₁ . . . a_n) avec a_i 0
b) ^tP.B.P =
Donc, A = P.D.^tP et B = P.^tP

det(A + B)
= det(P.D.^tP + P.^tP)
= det[P.(D + ).^tP]
= det(P.^tP).det(D + )
= [det(P)]²
Mais, les a_i étant positifs, 1 +

Donc :
det(A + B) det(P.^tP)[det() + det(D)]
det(A + B) det(P.^tP).det() + det(P.^tP).det(D)
det(A + B) det(P..^tP) + det(P.D.^tP)
det(A + B) det(A) + det(B)