Bonjour,

Une piste à explorer :
Si A n'est pas inversible, alors det(A) = 0.
On considère le polynôme en x : Det(A + xI_n) où I_n est la matrice unité.
x=0 est un zéro de ce polynôme, et comme les racines d'un polynôme sont en nombre fini, il existe un intervalle ouvert I tel que pour tout x I, x   0, on ait det(A + xI_n) 0 et donc (A + xI_n) soit inversible.
Sachant que, si B commute avec A, il commute également avec (A + xI_n) (c'est facile à montrer), on a, toujours tout x I, x 0, en utilisant la proposition pour A inversible  que tu as déjà démontrée :
det((A + xI_n) + B) = det(B)
Le terme de gauche étant continu en x, on a très envie d'écrire :
lim_{x-> 0} det((A + xI_n) + B) = det(B)
Et donc :
Det(A+B) = det(B)
Il reste à voir si tout ça tient rigoureusement

salut

et si tu calculais le déterminant d'une puissance convenable de A + B ?

Le Hibou, le raisonnement que tu donne est très joli, reste à voir si j'arriverais à trouver ça de moi même, attention juste petite erreur :
et non det(B). Sinon très compréhensible merci.

Carpediem, je sais pas trop où aller car j'avais déjà essayé de prendreoù et mais je n'arrive pas à en sortir quelque chose d'intéressant en utilisant le binôme.
Merci à vous deux

Bojour Atepadene,

si tu as fait le cas inversible c'est terminé !

En effet, si est inversible alors comme commute avec on en déduit que .

Le cas restant, et non inversibles, est trivial.

C'est un peu bizarre qu'on te fasse travailler avec des déterminants mais qu'on t'interdise d'utiliser le trace ou les valeurs propres de la matrice.

Petite simplification, si tu as le droit de réduire B sous forme de Jordan, alors s'écrit aussi , où P est la matrice telle que la matrice triangulaire supérieure stricte avec des 1 sur la première diagonale supérieure.

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Sinon, tu peux démontrer à la main que si A et B commutent elles sont cotriangularisables dans C (ie il existe une base où A et B sont toutes les deux triangulaires supérieures).
Ensuite, sans parler de valeur propre, si tu appelles la diagonale de la matrice triangulaire qui correspond à A et celle qui correspond à B alors est le produit des (règle de calcul usuel, développement par rapport à la première colonne ou ligne).
Donc si tu arrives à montrer que tous les \mu_i sont en fait nuls, tu auras montré que .

Pour montrer que les sont nuls, il suffit de remarquer que , où  , où est la matrice triangulaire qui correspond à B. Or, pour tout i (par récurrence ou calcul direct). Donc pour tout i, donc tous les sont nuls pour m assez grand (B est nilpotente).

Jandri très sympa comme façon de faire merci

Et Ulmiere, on ne me l'interdit pas, ces notions me sont simplement inconnues. Ensuite le but de cet exercice est je pense de montrer que puisque ce résultat ne me semble pas trivial.
Ps:je ne suis pas en MP mais PC d'où ces trous dans le programme