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Niveau Maths sup
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déterminants

Posté par Ptittete (invité) 05-07-03 à 20:51

Je bloque sur un exo d'algèbre:
montrer que Dn(x) = (x-1) D(n-1)(x) + (x-1)^(n-1) et en déduire Dn(x)
avec pour n>=2 et x réel:
Dn(x)= I x 1 . . 1I
             I 1 x . .   I
             I ..........1I
             I1......1 xI
(désolé pour l'écriture, c'est en fait un déterminant d'ordre
n avec la diagonale en x et des 1 ailleurs)
J'ai donc essayé de montrer l'égalité par récurrence, la 1ère étape
marche avec n=2 mais pour la 2nde je bloque, je sais qu'il faut
démontrer
Dn+1(x) = (x-1) D(n)(x) + (x-1)^(n) sachant Dn(x) = (x-1) D(n-1)(x) + (x-1)^(n-1)
mais comment? et pis pour en déduire Dn(x) je vois pas ce que l'égalité
nous apporte de + puisqu'on a toujours le D(n-1)(x) et qu'on
ne connaît pas sa valeur...

Merci d'avance pour vos réponses!

Posté par guilaume (invité)re : déterminants 07-07-03 à 13:13

il faut pas faire de récurrence: tu le demontre directement:
tu prends le det d'ordre n.
tu sais que tu as le droit de combiner les lignes pour un calcul de
det alors tu fais ligne1 devient ligne1-ligne 2.
ta premiere ligne est alors:
(x-1) (1-x) 0 0 .... 0

puis tu developpes ton determinant selon cette ligne:

ca fait (x-1) fois un determeinant d'ordre (n-1) qui est bien D(n-1)
moins (1-x) fois un det que tu ecris tu redeveloppe premiere ligne et tu
as (n-1) fois  un det qui vaut (x-1)

tu as
D(n)=(x-1)D(n-1)+(x-1)^n


ensuite tu as D(n) en focntion de D1 par exemple en raisonnant de proche
en proche...



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