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Determinants , Automorphisme
Bonsoir , je voudrais savoir pourquoi , en trouvant un determinant non nul , on en deduit que cette matrice est un automorphisme :
M = 0 1 0
0 0 1
1 -3 3
Je suppose que tu es en présence d'un endomorphisme (c'est-à-dire un élément de
pour fixer les idées) dont
est la matrice associé dans une cetaine base de
(par exemple la base canonique de
). Sous cette hypothèse, l'on a que
est bijectif si et seulement si
. Si tel est le cas, l'on dit que l'endomorphisme
est un automorphisme de
.
A +
Justement ce que je veux c'est savoir , c'est pourquoi le déterminant étant égal a 0 , conduit a la bijection de la matrice associé a l'application linéaire
Il faudrait surement revoir le cours sur les déterminants. C'est pratiquement le seul intérêt du déterminant que de savoir si l'endomorphisme est inversible...
Suppose que M et B sont 2 matrices telles que MB=I, alors est ce que det(M)=0 est possible?
Une matrice a des propriétés très similaires aux nombres réels !! quelle serait par exemple la condition pour que admette un inverse ??
@Urgo : Bonjour ! 
Je ne pense pas que l'analogie soit satisfaisante en ce sens que d'un côté tu as l'anneau des matrices carrées d'ordre 3 qui n'est pas intègre, de l'autre un corps. Mais peut-être veux-tu parler de ?
A +
@DHilbert: Bonjour
d'un côté tu as l'anneau des matrices carrées d'ordre 3 qui n'est pas intègre, de l'autre un corps.
Des notions qui me dépassent encore plus ou moins... Mais c'est avec plaisir que je t'apporterais une réponse plus construite dans le courant de l'année prochaine
Tant qu'à mon analogie, ça été une brève comparaison de mon prof pour introduire les matrices et généraliser "quelque peut" le concept de nombre (tout en précisant que ça ne fonctionne pas nom plus entièrement comme ça)... Cependant, je ne serait pas étonné que ce que je viens de dire face polémique sur le forum, donc je précise évidemment que cette comparaison ne reste qu'une analogie pour comprendre le concept sans pour autant que le mécanisme se passe exactement de la sorte... quoiqu'il en soit, cette analogie m'a bien aidé au début
Donc peut-être que ça décoicera quelque chose pour duffman06 (ne sait-on jamais )Tout cela me dépasse , j'ai l'impression qu'on s'éloigne de ma question mais c'est pas grave , je pense que c'est par ce que j'ai pas toucher au cours et que j'ai attaqué directement les exercices .
Tout de même , je vous remercie pour votre contribution
Bonsoir,
Bon, je ne suis pas vraiment éveillé mais je vais quand même apporter mon grain de sel.
Pour faire simple. Une application linéaire est un morphisme d'espace vectoriel : ça conserve sa structure alias il faut que ça respecte et
De par ces propriétés, il suffit donc de définir son action sur une base.
Un automorphisme c'est à la fois un endomorphisme (on reste dedans) et un isomorphisme (c'est bijectif).
Bon endomorphisme c'est gagné...reste la "bijectivité". C'est là que le déterminant est interessant. Pourquoi ?
Le déterminant c'est le volume (de dimension égale à son ordre) engendré par les vecteurs qui composent les colonnes ou les lignes.
Si l'application linéaire applatie la base canonique, son image ne sera plus qu'un plan ou pire, une droite.
Mais dans ce cas, le déterminant de la nouvelle base sera nul.
Si le déterminant est non nul, la base transformée a un volume et reste donc une base de l'espace de départ.
C'est un automorphisme.
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