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Détermination d'un domaine

Posté par
fusionfroide 17-05-07 à 21:25

Salut

Comment traiter ce genre de questions ?

Déterminer l'image inverse de 4$]0,1[^2 par le changement de variables 4$(u,v)->(x,y)=(u-v,u+v)


Merci

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 21:25

Oui je sais il faut faire un dessin ...

Mais avant ça ?

Posté par
Fractalre : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 21:48

Bonjour, au risque de dire une bêtise :
(u,v) appartient au truc recherché si et seulement si 0\le u-v\le 1 et 0\le u+v\le 1
On en déduit alors que 3$\fbox{0\le u\le 1} et donc -1+u\le v\le u et -u\le v\le 1-u d'où 3$\fbox{max(-1+u,-u)\le v \le min(u,1-u)}
Après on devrait pouvoir se débrouiller pour voir ce que ça donne graphiquement.
Sans garantie

Fractal

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 21:50

Salut Fractal !!

Voilà une méthode qui me paraît tout à fait correcte !

Je relis et je te dis si j'ai des quesitons !

Merci

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 21:56

ok c'est bon (les inégalités sont strictes non ?)

Où as-tu appris à faire ça ? car c'est drôlement bien rédigé !

Posté par
Fractalre : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 21:58

Oui, effectivement, les inégalités sont strictes

Je n'ai appris ça nulle part, je l'ai fait "au feeling"

Fractal

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 22:05

bravo dans ce cas !

3$\fbox{max(-1+u,-u)\le v \le min(u,1-u)}

Comment sais-tu que le min est à droite et le max à gauche ?

Posté par
Fractalre : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 22:08

Bah, ça me semble logique.
Si x est plus grand que 2 et 3, il est plus grand que le plus grand des deux (càd 3), et si x est plus petit que 2 et 3, il est plus petit que le plus petit des deux (càd 2).

Merci

Fractal

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 22:09

ok

Merci encore !

Posté par
Fractalre : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 22:09

De rien

Fractal

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Détermination d'un domaine. 17-05-07 à 22:57

Bonjour fusionfroide et Fractal ;
Avec 2$\fbox{\varphi{:}\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\\(u,v)\to(x,y)=(u-v,u+v)} on a 3$\fbox{\varphi^{-1}(]0,1[^2)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\hspace{5}/\hspace{5}\{{0<u-v<1\\0<u+v<1\hspace{5}\}
D'où \varphi^{-1}(]0,1[^2) est le domaine du plan délimité par les 4 droites d'équations 2$\fbox{(D_1){:}u-v=0\\(D_2){:}u-v=1\\(D_3){:}u+v=0\\(D_4){:}u+v=1} c'est à dire l'intérieur du carré de sommets 0(0,0) , B'(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) , A(1,0) et B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})
Remarque : On peut aussi remarquer que \varphi n'est autre que la similitude directe de centre O d'angle \frac{\pi}{4} et de rapport \sqrt2 (sauf erreur)

Détermination d\'un domaine.

Posté par
Fractalre : Détermination d'un domaine 17-05-07 à 23:07

Joli !

Fractal

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Détermination d'un domaine. 18-05-07 à 00:16

Merci fractal ;
toi aussi tu t'es bien débrouillé le domaine cherché fait partie de ce qu'on appelle domaines (plans) bornés définis par des conditions simples
qui sont de la forme 3$\fbox{D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\hspace{5}/\hspace{5}a\le x\le b\hspace{5},\hspace{5}\varphi(x)\le y\le\psi(x)\hspace{5}\}}.
et toi tu as trouvé les fonctions \varphi et \psi


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