Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau Maths sup
Partager :

Détermination d'une constante (série) ...

Posté par
lyonnais 03-11-07 à 16:01

Bonjour à tous

A chaque journée son petit problème. Aujourd'hui je bloque sur cet exercice :

Enoncé :

Citation :
Soit  \Large{P(x)=\sum_{k=-n}^{n} a_k.e^{ikx}

Question : trouver une constante c ne dépendant que de n telle que :

\Large{\sup_{x\in \mathbb{R}} |P'(x)| \le c.\sup_{x\in \mathbb{R}} |P(x)|

Indication : On poura utiliser

\Large{F_n(x)=\sum_{k=-n}^n (1-\frac{|k|}{n}).e^{ikx}

et considérer :  \Large{I_n(x)=\Bigint_{0}^{2\pi} P(x-y)F_n(y)sin(ny) dy


Alors déjà, je ne vois pas à quoi ça va nous servir de considérer In(x)  

Merci d'avance

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 17:47

Personne ?

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:27

Déjà, est-ce que quelqu'un comprend l'intéret d'utiliser In(x) ?

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:40

Salut Romain,

Nan je ne vois pas trop, mais peut-être faut-il exprimer I_n(x) en fonction de F_n(x)...

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:47

Si tu le dis ...

Et ça servirai à quoi pour résoudre le problème ?

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:48

Citation :
Si tu le dis ...


C'est pas moi qui le dit, c'est mon ego...

Bah franchement à part relier les deux je vois pas trop quoi en faire...

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:50

Je vais essayer de voir ça alors ...

Si jamais quelqu'un trouve quelque chose d'intéressant

Merci

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:54

Salut,

en fait 3$F_n(x) n'est autre que le noyau de Fejer(moyenne de Cesaro du noyau de Dirichlet).

On doit surement se servir de ses propriétés après je sais pas trop comment

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:55

Salut Cauchy !

Tu te souviens de ça ??

Je l'ai fait ya quelques mois et j'ai déjà oublié...faut dire on ne s'en est jamais servi

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 18:56

Oula Cauchy tu m'as l'air bien callé :D

Le noyau de Fejer, je vais me renseigner la dessus, jamais entendu parlé

Pff dur dur cet exercice, j'y ai passé la matinée en vain ...

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:00

Salut fusionfroide,

j'ai relu un peu ça il y a peut être 1 mois et demi donc je m'en souviens encore

Bon après In(x) on appelle ça un produit de convolution de P par Fn(y)sin(ny),

en fait si on avait pas le sin(ny) on retombe(par linéarité de l'intégrale sur la moyenne de Césaro des sommes partielles de la série de Fourier de P) en utilisant le fait que:

3$\int_{0}^{2\pi} P(x-y)D_k(y) dy=S_k(P)(x)(il y a une constante qui traine peut être) où D_k est le noyau de Dirichlet.

Bon la on a un sinus dans l'affaire et faut relier tout ça à P'

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:07

Ok merci Cauchy

Donc d'après ce pdf (page 16), il faudrait montré que :

\Large{F_n(x)=\sum_{k=-n}^n (1-\frac{|k|}{n}).e^{ikx} = \frac{1}{n}.\sum_{k=0}^{n-1} D_k

Où :

\Large{D_k = \sum_{p=-k}^{k} e^{ipt}

ça pourrait aider à simplifier l'expression (peut-être)

Merci pour le nom de convolution, je vais chercher la dessus ...

Compliqué, compliqué ! Surtout quel est le rapport avec P'

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:07

Oups j'ai oublié le lien (enfin, tu n'es as pas besoin) :

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:10

L'idée est sûrement que:

3$S_n(P)(x)=P(x)=\int_{0}^{2\pi} P(x-y)D_n(y)dy.

On remarque que 3$P'(x)=\sum_{k=-n}^{+n}ika_ke^{ikx}=S_n(P')(x)

donc 3$P'(x)=\int_{0}^{2\pi} P'(x-y)D_n(y)dy et la une intégration par parties va nous amener à contrôler la deuxième intégrale.

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:15

Oula ça va vite pour moi

Et en plus, notre sin(y), on le place comment dans l'affaire ?

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:18

Bien tu sais j'ai pas la réponse encore, je bidouille des trucs pour l'instant

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:19

Ok te gène pas alors

Pendant ce temps, je recherche des infos sur ce noyau de Feyer ... Et sur les produits de convolutions

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:25

Je vais manger(à tout à l'heure).

P.S: kaiser le roi de l'astuce en analyse est demandé sur ce fil, je répète

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 19:28

Ok bon apétit !

6$\fbox{\red KAISER}

au secours ... Si jamais tu as le temps

Roi de l'astuce en analyse nous demandons ton intervention :D

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 21:51

Salut :D

Je pense avoir trouvé !

Aussi bizarre que cela puisse paraître, \Large{I_{n}(x)} se calcule explicitement, et sans trop gros efforts : il suffit de bien s'y prendre, de remarquer que \Large{\sin(ny)=\frac{e^{iny}-e^{-iny}}{2i}} et d'utiliser le fait que la famille \Large{(y\mapsto e^{iny})_{n\in\mathbb{Z}}} forment une famille orthonormée pour le produit scalaire hermitien suivant :

\Large{(f|g)=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi}\bar{f(t)}g(t)dt}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 21:53

Bref, tous calculs faits, je trouve (aux erreurs de calculs près) :

\Large{I_{n}(x)=\frac{\pi}{n}P'(x)}

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 21:53

En voila un courageux qui sait calculer

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 21:55

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:02

En plus je me suis dit bon je vais tenter ça(je me suis arrêté après avoir posé le calcul ).

Pouvait-on le prévoir ce résultat? Enfin je veux dire y-avait-il une bonne raison de rajouter ce sinus?

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:04

Citation :
je me suis arrêté après avoir posé le calcul




Citation :
Pouvait-on le prévoir ce résultat? Enfin je veux dire y-avait-il une bonne raison de rajouter ce sinus?


Je ne sais pas. J'essaie d'y réfléchir.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:16

Ouah Kaiser le sauveur !

Je regarde

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:18

Par contre, quand tu auras le temps il va falloir m'expliquer comment tu fais le calcul

Tu remplace avec l'intégrale et les 2 sommes et tout se simplifie ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:28

Déjà, je ne développe absolument rien du tout : je considère uniquement les termes qui m'intéressent.

Tout d'abord, je remplace le sinus par les exponentielles et on se retrouve à calculer deux produits scalaires (à un facteur près), celui d'un produit de deux sommes par deux exponentielles complexes.

Plus précisément, si f est un polynôme trigonométrique \Large{f(t)=\Bigsum_{k=-n}^{n}b_ke^{ikt}} et p un entier compris entre -n et n, alors \Large{\Bigint_{0}^{2\pi}e^{-ipt}f(t)dt=2\pi b_{p}}.

J'utilise donc ça avec p=n et p=-n.

Il suffit donc de déterminer les termes d'ordre n et d'ordre -n du produit des deux sommes.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:32

Ok merci Kaiser pour ces explications, je pense avoir compris.

Je n'ai pas le temps de regarder ça ce soir, mais j'essaierai de retrouver ton résultat demain matin. Si je n'y arrives pas, je te demanderais.

Donc au final, notre constante c serait  pi/n ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:39

non, ça ne sera pas ça car en fait : on a trouvé une expression de P'(x) en fonction d'une intégrale faisant intervenir P et le noyau de Féjer \Large{F_n (qui, entre parenthèses, est positif, même si ça ne se voit pas comme ça : ça te permettra d'avoir une constante sympathique) et donc il faudra majorer cette intégrale.
Bref, il reste encore des petits truc à faire avant d'avoir accès à la constante c.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:40

Oui enfin on l'a presque

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:43

oui, bon c'était pour chipoter un peu (à vue de nez, je dirais c=2n). Pour la norme L1 du noyau de Féjer c'est bien 1 (quand on a normalisé l'intégrale en divisant par 2 pi) ?

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:46

Oui il me semble, ça découle que l'intégrale du Dirichlet fait 1.

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:48

ouais, c'est vrai, donc c=2n marche.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:54

c=2pin non?

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:55

mdr comment vous faites :S

Posté par
fusionfroidere : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:56

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:56

non, car on a \Large{I_{n}(x)=\frac{\pi}{n}P'(x)}.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:58

Quel boulet (incapable de passer de l'autre côté)

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 03-11-07 à 22:58

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:04

Re

Bon, j'ai passé 30 min à retrouver ton résultat, mais j'ai réussi

Encore une fois, merci énormement

Donc j'arrive bien à :

\Large{I_{n}(x)=\frac{\pi}{n}P'(x)}

Soit :

\Large{P'(x)=\frac{n}{\pi}I_n(x)} = (2n).(\frac{1}{2\pi}I_n(x))

Or :

\Large{|\frac{1}{2\pi}I_n(x)| \le \frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi} |P(x-y)|.|F_n(y)|.|sin(y)| dy \le \frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi} |P(x-y)|.|F_n(y)| dy = \frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{2\pi} |P(y)|.|F_n(x-y)| dy

Pour continuer il faudrait montrer que :

|F_n(x-y)| \le 1

C'est ça ? Et si oui comment faire ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:22

re

Citation :
Bon, j'ai passé 30 min à retrouver ton résultat, mais j'ai réussi


c'est bien que tu aies trouvé mais, à titre d'entrainement, essaie de le retrouver plus rapidement (quelle était ta méthode pour déterminer les éléments d'ordre n et -n ?)

Citation :
Pour continuer il faudrait montrer que :

|F_n(x-y)|%20\le%201

C'est ça ? Et si oui comment faire ?


ça c'est faux (\Large{F_{n}(0)=2n})

Sinon, tu aurais pu (dû) laisser la dépendance en x sur |P(x-y)|, que tu aurais pu majorer par son sup.
Il te reste donc \Large{\Bigint_{0}^{2\pi}|F_n(t)|dt}

À ce stade, comme on veut une constante qui ne dépend que de n, alors on peut se contenter de majorer brutalement.

Si on veut avoir une majoration la plus fine possible, il faut "remarquer" la chose suivante : \Large{F_{n}} est une fonction réelle positive (en la calculant explicitement, on montre que c'est le carré d'une fonction réelle) et donc \Large{F_{n}=|F_{n}|} : on pourra alors calculer l'intégrale explicitement.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:35

Ah oui Ok tu as raison.

Pour trouver les coeff en exp(iny) et exp(-iny) dans la somme double, j'ai écrit chacunes des sommes et j'ai regardé ce que ça faisait en faisant le produit.

Mais en fait si tu veux, j'ai passé du temps, parce que je suis parti de P(x) et par de P(x-y). Du coup, j'avais les bons coeff pour avoir P', mais il me manquait les exp(ikx) ... J'ai mis du temps à retrouver mon erreur.

Tu as utilisé une méthode plus simple ?

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:39

Pour ce qui est de la majoration, on peut dire par exemple (majoration grossière) que :

\Large{\Bigint_{0}^{2\pi}|F_n(t)|dt}\le \Bigint_{0}^{2\pi} \sum_{k=-n}^{n} 1 dt = 2\pi.(2n+1)

Donc la constante serait :

c = 2pi.(2n).(2n+1)

?

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:43

Ah non, la constante serait  c = (2n)(2n+1)

Parce qu'il reste le 1/(2pi) de l'intégrale ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:44

non, non, j'ai bien fait comme ça ( je remarque qu'un terme en \Large{e^{iny}} s'obtient en faisant le produit d'un élément en \Large{e^{-ipy}} par un terme en \Large{e^{iqy}} avec q-p=n, et ensuite, je fais la somme de tous ces éléments) mais en étant bien parti avec P(x-y). Du coup, j'ai mis moins de temps.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:46

c'est bien ça.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:49

Je crois que j'avais calculé ce que valait F_n(x) en exercice.

Je crois qu'on obtient un quotient de sin² si je me rappelle bien.

Mais bon, ça me suffit, on a trouvé une constante

Merci beaucoup pour ton aide (une nouvelle fois)

Posté par
kaiser Moderateurre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:52

Citation :
Je crois que j'avais calculé ce que valait F_n(x) en exercice.

Je crois qu'on obtient un quotient de sin² si je me rappelle bien.


Oui, c'est bien ça.

Citation :
Mais bon, ça me suffit, on a trouvé une constante


c'est vrai, pourquoi faire compliqué !

Citation :
Merci beaucoup pour ton aide (une nouvelle fois)


Mais je t'en prie !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Détermination d'une constante (série) ... 04-11-07 à 10:54

Enfin, j'essaierais quand même cette aprem de majorer au mieux |F_n(y)| pour m'entrainer

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !