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détermination d'une densité de loi

Posté par jo47 (invité) 28-08-07 à 21:31

Soient U1 et U2 deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant la
même loi uniforme sur l'intervalle [0,1]. On définit la variable aléatoire X par :

X= \\ \left\{ \\ \begin{array}{ccc} \\ \frac{ln(U_1)}{\mu} \; si \; U_2\leq \frac{\alpha}{1+\alpha}\\ \\ \\ \frac{-ln(1-U_1)}{\alpha \mu} \; si \; U_2 > \frac{\alpha}{1+\alpha}\\ \\ \\ \end{array} \\ \right.\\ \\ \\ \\ (\alpha > 0, \mu > 0) \\ \\

1.Déterminer fX la densité de la loi de X.

2.Déterminer F_X la fonction de répartition de la loi de X.

Posté par jo47 (invité)+ 28-08-07 à 21:34

j'ai oublié de détailler mon avancement sur le problème : j'ai une méthode qui permet de calculer la densité souhaitée mais lorsqu'il n'y a qu'une seule variable aléatoire soit U1 = U2. Je ne voi pas comment prendre en compte les 2 dans mon calcul, quelqu'un a t-il une idée?

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 28-08-07 à 23:46

Tout d'abord, Bonsoir jo47 (ça fait toujours plaisir ! )

En ce qui concerne ton problème, la méthode à
adopter est de prendre une fonction g continue bornée sur \Large{\mathbb{R}} (en effet, X peut prendre toutes les valeurs réelles) et de calculer \Large{\mathbb{E}[g(X)]}.

On peut considérer (et c'est le cas) que X est une fonction de X (on écrit alors \Large{X=f(U_{1},U_{2})}.)

Ainsi, on a :

\Large{\mathbb{E}[g(X)]=\Bigint_{[0,1]^{2}}g(f(u_1,u_2))du_1du_2}

Il ne te reste plus qu'a découper ton intégrale en deux morceaux, effectuer un changement de variable pour chacun d'eux et écrire ton résultat sous la forme \Large{\Bigint_{\mathbb{R}}g(x)h(x)dx}.

Kaiser

Posté par jo47 (invité)re : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 10:27

Bonjour et merci pour ton aide kaiser,
J'ai un peu de mal à m'en sortir, après mon changement de variable j'obtient :

E[g(X)]=\int_0^{\frac{\alpha}{1+\alpha}} \; \int_0^\infty g(x) \mu e^{\mu x}dx du2 \;+\; \int_{\frac{\alpha}{1+\alpha}}^1 \; \int_0^\infty g(x) \alpha \mu e^{-\alpha \mu x}dx du2

Je ne sais pas comment retomber sous la forme que tu m'a décrite plus haut, si tu pouvais me donnez quelques indices supplémentaires...

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 12:19

plusieurs remarques :

1) Dans le premier morceau, ton intégrale devrait aller de \Large{-\infty} à 0 et non de 0 à \Large{+\infty}.

2) Pour les deux morceaux, il n'y a plus rien qui ne dépende de \Large{u_2} donc pour chacun d'eux, tu te ramènes à une intégrale simple, par rapport à x.

Kaiser

Posté par jo47 (invité)merci 29-08-07 à 13:07

en effet dans le premier morceau j'avais fait une erreur au niveau des bornes, j'obtient finalement :

Sur ]-\infty,0],f_X(x) = \frac{\alpha}{1+\alpha} \mu e^{\mu x}
et
Sur ]0,\infty[,f_X(x) = \frac{1}{1+\alpha} \alpha \mu e^{-\alpha\mu x}

J'espère que je n'ai pas fait d'autres erreurs
Je te remercie encore pour ton aide kaiser, c'était mon premier post et je suis content que quelqu'un ai pu m'aider.

Posté par
stokastikre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 13:49

... ce n'est pas la somme de ces deux fonctions plutôt ?

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 13:49

Mais je t'en prie !
à bientôt sur l' !
c'est correct !

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 13:51

stokastik > non, pourquoi ?
les deux intégrales ne portent pas sur le même ensemble.

Kaiser

Posté par
stokastikre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 14:08


Ah oui je vois j'avais en tête la somme mais pondérée avec les indicatrices

On peut s'en tirer ainsi sans intégrale double:

4$f(x)dx=P(X \in [x,x+dx])=P(X \in [x,x+dx] \cap U_2 \leq \frac{\alpha}{1+\alpha}) + P(X \in [x,x+dx] \cap U_2 > \frac{\alpha}{1+\alpha})

4$P\left(X \in [x,x+dx] \cap U_2 \leq \frac{\alpha}{1+\alpha}\right)=P\left(\frac{ln(U_1)}{\mu} \in [x,x+dx] \cap U_2 \leq \frac{\alpha}{1+\alpha}\right)= \frac{\alpha}{1+\alpha} P\left(\frac{ln(U_1)}{\mu} \in [x,x+dx]\right)

4$P\left(\frac{ln(U_1)}{\mu} \in [x,x+dx]\right)= P\left(U_1 \in \left[\exp(\mu x),\exp\left(\mu(x+dx)\right)\right]\right)= \left(\exp(\mu x)\right)^{\prime}= \mu \exp(\mu x) dx

et faire de même pour 3$P(X \in [x,x+dx] \cap U_2 > \frac{\alpha}{1+\alpha}).

Posté par
stokastikre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 14:09


... et j'ai oublié l'indicatrice de 3$]-\infty, 0]  

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 14:25

OK !

Sinon, une petite question indiscrète, stokastik : tu es fâché avec les intégrales ou bien ?

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 14:37

Bonjour à tous!
Vous allez bien?

Kaiser>Tu es pris à Cachan, finalement?

Posté par jo47 (invité)densité de loi d'un vecteur... 29-08-07 à 16:39

J'ai un autre exercice pour lequel j'aurai besoin d'aide, un peu plu compliqué à mon gout, la formule de base doit ressembler à celle utilisée dans l'exercice précédent mais je voudrais savoir s'il y a un moyen plus facile de résoudre cet exo car il parle de "vecteur" dans l'énoncé, je vou en fais part:

Soient U1, U2 et U3 trois variables aléatoires réelles indépendantes suivant la même loi uniforme sur l'intervalle [0, 1]. On définit le vecteur aléatoire (X,Y,Z) par :

\left\{ \\ \begin{array}{ccc} \\ X= \frac{\sqrt{-2ln(U_1)}cos(2\pi U_2)}{1-U_3} \\ Y =\frac{\sqrt{-2ln(U_1)}sin(2\pi U_2)}{1-U_3} \\ Z = \frac {1}{1-U_3} \\ \end{array} \\ \right.

1. Déterminer $f_X,Y,Z$ la densité de la loi du vecteur (X, Y, Z)
2. Déterminer $f_X,Y$ la densité de la loi du couple (X, Y )

Posté par
stokastikre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 17:37

Alors kaiser... méthode jacobienne ?

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 18:31

Tigweg > salut à toi !
oui, je suis à Cachan finalement !

stokastik > pourquoi pas ? Si on y regarde de plus près, pour calculer ce magnifique jacobien, on aura besoin de calculer uniquement 5 dérivées (qui ne sont pas si moches que ça).
J'y travaille et je vous raconte ensuite!

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 18:53

Bon, y'a pire :

En utilisant la méthode jacobienne , je trouve que la densité vaut :

\Large{f_{(X,Y,Z)}(x,y,z)=\frac{z^{4}}{2\pi\sqrt{2}}\exp(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2z^{2}})\mathbb{1}_{z > 0}}

Je vérifie, on ne sait jamais !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 19:01

Bon, une première erreur. On a en fait :

\Large{f_{(X,Y,Z)}(x,y,z)=\frac{1}{2z^{4}\pi\sqrt{2}}\exp(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2z^{2}})\mathbb{1}_{z%20%3E%200}}

Kaiser

Posté par
stokastikre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 19:04

Là j'utiliserais aussi le jacobien car je ne vois d'autre méthode... mais tant que je peux je préfère faire des probas que du calcul intégral.

Posté par
Tigweg Correcteurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 19:04

OK!

Tu reprends début septembre, ou début octobre?

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 19:05

et de deux (la dernière j'espère ! ) :

\Large{f_{(X,Y,Z)}(x,y,z)=\frac{1}{2z^{4}\pi}\exp(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2z^{2}})\mathbb{1}_{z%20%3E%200}}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 19:08

Stokastik > OK ! (bien sûr, tu auras compris que je ne te faisais pas de reproches ? )
Tigweg > euh! ?? comment dire ? je commence ....ce lundi !!
De plus, je connais déjà mon emploi du temps pour les 3 ou 4 semaines à venir (en particulier, j'ai un devoir sur table de 6 heures le vendredi de la semaine prochaine ! )

Kaiser

Posté par
Cauchyre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 19:28

kaiser> Quelle belle perspective

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 20:02

Posté par jo47 (invité)re : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 21:17

merci kaiser d'avoir trouver la réponse, mais est ce que tu pourrai me faire part de la méthode que t'a utilisé, tu di k'il y a 5 dérivée???! c long à faire?

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 21:34

Non, les dérivées ne sont pas dures à faire, (à moins que tu ne soit pas à l'aise avec les dérivées de composées).
Le plus embêtant ici, c'est de ne pas se tromper dans les calculs, comme je l'ai fait plus haut !

Sinon, c'est un bête changement de variable : tu poses x=..., y=... et z=....
Par contre, on a l'application "dans le mauvais sens". En effet, en temps normal il faudrait plutôt exprimer les anciennes variables en fonction des anciennes : ici, on ne va pas en avoir besoin.
Le fait de poser x=.., y=.. et z=.. te fournit une application dont tu dois prendre le jacobien. bien sûr ce n'est pas celui-ci qui va apparaitre dans l'intégrale, mais plutôt son inverse (car dans le changement de variable c'est le jacobien de l'application inverse qui apparait). Ce jacobien est facilement exprimable en fonction des nouvelles variables.

Kaiser

Posté par jo47 (invité)re : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 21:41

ok, je vai essayer....

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 29-08-07 à 21:45

Je ne suis pas bien ce soir !

Citation :
En effet, en temps normal il faudrait plutôt exprimer les anciennes variables en fonction des anciennes


bien sûr, je voulais dire :

Citation :
En effet, en temps normal il faudrait plutôt exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles


Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 01:34

Citation :
euh! ?? comment dire ? je commence ....ce lundi !!


Kaiser> Lol c'est légèrement plus chargé qu'à la fac on dirait
Tu as déjà préparé quelques leçons?

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 11:31

Citation :
Tu as déjà préparé quelques leçons?


Non, pas encore. Cela dit, j'essaie d'avoir quelques idées un peu en vrac, en me remémorant les oraux auxquels j'ai assisté en juillet.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 11:34

Oui...
Préparer sérieusement l'Agreg, c'est un travail colossal.
Perso,j'avais bossé une ou deux leçons sérieusement dans chaque thème, c'est plus économique

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 11:44

Effectivement. De toutes façons, 100 leçons c'est trop (entre parenthèses, ma hantise, c'est la géométrie projective ! ).
Mais bon, tout au long de l'année, j'aurai 2 leçons à préparer chaque semaine donc je verrais ce que je bosserai en priorité.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 18:52

Les joies de la dualité projective...
Présentée comme quelque chose de naturel par ma prof de prépa Agreg alors qu'elle shuntait scandaleusement les points délicats!

Tu te consacreras exclusivement à l'Agreg?
(Tu viendras encore un peu ici j'espère!)

Tigweg

Posté par
kaiser Moderateurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 19:02

Citation :
Présentée comme quelque chose de naturel par ma prof de prépa Agreg alors qu'elle shuntait scandaleusement les points délicats!


OK, je vois le genre !

Citation :
Tu te consacreras exclusivement à l'Agreg?
(Tu viendras encore un peu ici j'espère!)


Non, ne t'inquiète pas. Je ne pense pas que je disparaitrai de la circulation, mais, a priori, je pense tout de même que mes visites seront moins fréquentes que d'habitude, du moins en semaine.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : détermination d'une densité de loi 30-08-07 à 19:04

OK!


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