Niveau école ingénieur

détermination d'une densité par la méthode de la fonction test

Posté par
enzopazou 07-12-21 à 11:12

Bonjour les matheux,
j'avais une question par rapport à la méthode de la fonction test. Voila, je dois déterminer la densité d'une variable aléatoire représenté sous la forme de g(X1,X2,...,Xn) avec g une fonction mesurable définie sur $R^{n}$ dans $R^{+}$ et $(Xi)_{i>0} i.i.d$ .
Je cherche donc a déterminer $f_{g(X1,X2,...,Xn)}(x1,x2,...,xn)$ .
Je crois avoir compris cette méthode pour un vecteur de v.a mais je ne la comprends pas pour une fonction de v.a.

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 11:33

Hello donne ton exemple !

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 11:36

Je ne sais pas exactement ce que tu appelles "méthode de la fonction test", mais vu le nom je pense que tu veux dire

$U\sim V$ ssi $E(h(U)) = E(h(V))$ pour tout fonction test (c-infini à support compact) h. En l'occurence, on peut se contenter de continue bornée ici.

Utilise le théorème de transfert:

$\begin{array}{lcl} \\ E(h(g(X_1,\cdots, X_n))) &=& \int h(g(X_1,\cdots,xX_n))(\omega)P(d\omega)\\ \\ &=& \int h(g(x_1,\cdots,x_n)) (\mu_1\times\mu_2\times\cdots\mu_n)(dx_1,\cdots,dx_n) \\ &=& \cdots \\ \end{array}$

où la dernière intégrale est sur le support de $(X_1,\cdots,X_n)$

Sachant que les (X_i) sont iid, tu peux exprimer facilement la loi du couple en fonction de $\mu_1$ , la loi de $X_1$ , et finir le calcul. Tu n'en dis pas beaucoup sur la loi commune des $X_i$ , mais vu l'énoncé, je suis à peu près sûr que ce sont des v.a réelles à densité par rapport à la mesure de Lebesgue

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 19:03

lionel52 @ 07-12-2021 à 11:33

Hello donne ton exemple !

Alors j'ai une V.A Cn définie par Cn=C*R1*R2*...*Rn tq C>0 et (Ri,i>0) i.i.d telles que Ri=2rUi ,r $\in [0,1]$ où Ui suit une loi uniforme sur [0,1].
On me demande de trouver la densité de Cn.
j'ai aussi le resultat : -ln(R1R2...Rn) suit la même loi que -nln(2r)+Zn
où Zn admet pour densité z $\rightarrow\frac{1}{(n-1)!}e^{-z}z^{n-1}1_{]0,\propto[ }(z)$

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 20:55

Ulmiere @ 07-12-2021 à 11:36

Sachant que les (X_i) sont iid, tu peux exprimer facilement la loi du couple en fonction de $\mu_1$ , la loi de $X_1$ , et finir le calcul. Tu n'en dis pas beaucoup sur la loi commune des $X_i$ , mais vu l'énoncé, je suis à peu près sûr que ce sont des v.a réelles à densité par rapport à la mesure de Lebesgue

oui les v.a sont réelles et à densité (cf: mon message ou je décris un peu plus mon sujet).
Ici je ne comprends pas quand vous dites d'exprimer la loi du couple en fonction de $\mu_1$ , est-ce un changement de variable qui me permet cela ? si c'est bien le cas, étant donné que g: $[0,2r]\times ...\times [0,2r]\rightarrow R^{+}$ n'y as t'il pas un probleme dans la jacobienne ?

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

probabilités en post-bac
1 fiches de mathématiques sur "probabilités" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

5 visiteurs

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

détermination d'une densité par la méthode de la fonction test

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths