Niveau école ingénieur

détermination d'une densité par la méthode de la fonction test

Posté par
enzopazou 07-12-21 à 11:12

Bonjour les matheux,
j'avais une question par rapport à la méthode de la fonction test. Voila, je dois déterminer la densité d'une variable aléatoire représenté sous la forme de g(X1,X2,...,Xn) avec g une fonction mesurable définie sur $R^{n}$ dans $R^{+}$ et $(Xi)_{i>0} i.i.d$ .
Je cherche donc a déterminer $f_{g(X1,X2,...,Xn)}(x1,x2,...,xn)$ .
Je crois avoir compris cette méthode pour un vecteur de v.a mais je ne la comprends pas pour une fonction de v.a.

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 11:33

Hello donne ton exemple !

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 11:36

Je ne sais pas exactement ce que tu appelles "méthode de la fonction test", mais vu le nom je pense que tu veux dire

$U\sim V$ ssi $E(h(U)) = E(h(V))$ pour tout fonction test (c-infini à support compact) h. En l'occurence, on peut se contenter de continue bornée ici.

Utilise le théorème de transfert:

$\begin{array}{lcl} \\ E(h(g(X_1,\cdots, X_n))) &=& \int h(g(X_1,\cdots,xX_n))(\omega)P(d\omega)\\ \\ &=& \int h(g(x_1,\cdots,x_n)) (\mu_1\times\mu_2\times\cdots\mu_n)(dx_1,\cdots,dx_n) \\ &=& \cdots \\ \end{array}$

où la dernière intégrale est sur le support de $(X_1,\cdots,X_n)$

Sachant que les (X_i) sont iid, tu peux exprimer facilement la loi du couple en fonction de $\mu_1$ , la loi de $X_1$ , et finir le calcul. Tu n'en dis pas beaucoup sur la loi commune des $X_i$ , mais vu l'énoncé, je suis à peu près sûr que ce sont des v.a réelles à densité par rapport à la mesure de Lebesgue

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 19:03

lionel52 @ 07-12-2021 à 11:33

Hello donne ton exemple !

Alors j'ai une V.A Cn définie par Cn=C*R1*R2*...*Rn tq C>0 et (Ri,i>0) i.i.d telles que Ri=2rUi ,r $\in [0,1]$ où Ui suit une loi uniforme sur [0,1].
On me demande de trouver la densité de Cn.
j'ai aussi le resultat : -ln(R1R2...Rn) suit la même loi que -nln(2r)+Zn
où Zn admet pour densité z $\rightarrow\frac{1}{(n-1)!}e^{-z}z^{n-1}1_{]0,\propto[ }(z)$

Posté par re : détermination d'une densité par la méthode de la fonction t 07-12-21 à 20:55

Ulmiere @ 07-12-2021 à 11:36

Sachant que les (X_i) sont iid, tu peux exprimer facilement la loi du couple en fonction de $\mu_1$ , la loi de $X_1$ , et finir le calcul. Tu n'en dis pas beaucoup sur la loi commune des $X_i$ , mais vu l'énoncé, je suis à peu près sûr que ce sont des v.a réelles à densité par rapport à la mesure de Lebesgue

oui les v.a sont réelles et à densité (cf: mon message ou je décris un peu plus mon sujet).
Ici je ne comprends pas quand vous dites d'exprimer la loi du couple en fonction de $\mu_1$ , est-ce un changement de variable qui me permet cela ? si c'est bien le cas, étant donné que g: $[0,2r]\times ...\times [0,2r]\rightarrow R^{+}$ n'y as t'il pas un probleme dans la jacobienne ?

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