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Determination de fonction numerique

Posté par mat671 (invité) 26-10-05 à 10:50

Bonjour à tous,
je bloque sur les 2 questions suivantes :

1/ determiner les fonctions numeriques 2 fois derivables sur R telles que :
pour tout x appartenant à R :

f"(x) + f(-x) = x + exp(x)


2/ detrminer les fonctions numériques continues sur R telles que :
pour tout x appartenat à R,
f(x) + de 0 à x de (x-t)f(t) dt = 0.

Je bloque des le départ sur ces exos : toute suggestion est la bienvenue.
merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de lire ce topic et d'y repondre

Posté par pac (invité)Determination de fonction numerique 26-10-05 à 13:55

Salut,

Pour l'exo 2, montre dans un premier tps que f n'est pas seulement continue mais aussi de classe C1. De là, tu pourras dériver...

Pour l'exo 1, je vois pas trop. Je voudrais pas te dire des bêitses.

Pac

Posté par
kachouyabre : Determination de fonction numerique 26-10-05 à 14:15


Bonjour
si on pose; g(x)=f(x) +f(-x) l'éq devient;g''(x) + g(x)=exp(x)+exp(-x)
donc on peut trouver la fonction g.
de mme;
on pose   h(x)= f(x)-f(-x) la fct h vérifie;  h''(x)-h(x)= 2x
ainsi on peut trouver h
  coclusion;   f= 1/2(g+h)
sauf erreurs......

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Determination de fonction numerique 27-10-05 à 01:47

Bonsoir kachouyab,bonsoir mat671 et pac;
1) Comme l'a bien vu kachouyab on a en considérant la partie paire 3$\fbox{g{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to\frac{f(x)+f(-x)}{2}} et impaire 3$\fbox{h{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to\frac{f(x)-f(-x)}{2}} d'une solution f que 4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\\{{g''(x)+g(x)=ch(x)\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}(1)\\h''(x)-h(x)=x+sh(x)\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}(2)\\f(x)=g(x)+h(x)\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}(3)}
Résolution de (1):
(*)Les solutions de l'équation sans second membre sont 3$\fbox{a cos(x)+b sin(x)\\a,b\in\mathbb{R}}
(*)Une solution particulière est 3$\fbox{x\to\frac{ch(x)}{2}}
Donc on doit avoir g(x)=a cos(x)+b sin(x)+\frac{ch(x)}{2} mais vu que g est paire le b est nécéssairement nul et on a donc que:
4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\g(x)=a cos(x)+\frac{ch(x)}{2}\\a\in\mathbb{R}}
Résolution de (2):
(*)Les solutions de l'équation sans second membre sont 3$\fbox{c ch(x)+d sh(x)\\c,d\in\mathbb{R}}
(*)Une solution particulière est 3$\fbox{x\to\frac{xch(x)}{2}-x}
Donc on doit avoir h(x)=c ch(x)+d sh(x)+\frac{xch(x)}{2}-x mais vu que h est impaire le c est nécéssairement nul et on a donc que:
4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\h(x)=d sh(x)+\frac{xch(x)}{2}-x\\a\in\mathbb{R}}
Conclusion:
Les solutions de 1) sont les fonctions f telles que:
5$\red\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\f(x)= a cos(x)+d sh(x)+\frac{x+1}{2}ch(x)-x\\a,d\in\mathbb{R}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
kachouyabre : Determination de fonction numerique 27-10-05 à 01:57

Bonsoir Elhor


Posté par
kachouyabre : Determination de fonction numerique 27-10-05 à 02:34

pour la 2)

on pose; g(x)=\int_0^xf(t)dt           l'éq devient;           (1-x)g'(x)+(x+1)g(x)=0

*Si x=1;                     g=0 et par suite f=0 est une solution
* Si x1;             g(x)=\alpha(x-1)^2e^x

conclusion;            f(x)=g'x)= \alpha(x^2-1)e^x           pour tout x dans R

Sauf erreurs...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Determination de fonction numerique 27-10-05 à 03:10

2)
Condition nécéssaire:
Soit f une solution.En notant 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt} on peut remarquer que cette équation s'écrit aussi: 4$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\F'(x)+\int_{0}^{x}\underb{(x-t)}_{u(t)}\underb{f(t)}_{F'(t)}dt=0} et en intégrant par parties on voit que: 4$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\F'(x)+\underb{[(x-t)F(t)]_{0}^{x}}_{0}+\underb{\int_{0}^{x}F(t)dt}_{4$G(x)}=0} c'est à dire que 4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\G''(x)+G(x)=0}
et donc que 4$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\G(x)=a cos(x)+b sin(x)\\a,b\in\mathbb{R}} et donc que 4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\F(x)=G'(x)=-a sin(x) +b cos(x)\\f(x)=G''(x)=-a cos(x)-b sin(x)\\a,b\in\mathbb{R}}
vu que 3$\fbox{F(0)=f(0)=0} on voit que 4$\blue\fbox{a=b=0} et donc que f est identiquement nulle.
La Condition étant clairement suffisante conclure

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
kachouyabre : Determination de fonction numerique 27-10-05 à 12:27

Bonjour

je suis d'accord avec Elhor;j'ai commi des erreurs dans l'intégration par parties .Merci Elhor.


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