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Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 17-02-22 à 21:28

Tu sais le prouver?

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 17-02-22 à 21:46

\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 12:05

Ok.

Tu as maintenant une suite (un) tendant vers 0, ce sont les abscisses des points de la courbe (que tu as sur géogebra) où la fonction vaut 1.

Peux tu écrire avec la définition de la limite que (un) a pour limite 0 ?

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 16:25

f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x - 0| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(0) | < \epsilon

Par négation on :

\lim_{x \to 0} f(x) \neq 0 \iff [tex]\epsilon = \dfrac{1}{2}, ~ \forall \alpha > 0, ~\exists x = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n}\\\ \text{Posons} ~ \left| \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n} \right| < \alpha \\\\ \Rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi} < \alpha \\\\ \Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n > \dfrac{1}{\alpha} \\\\ \Rightarrow 2\pi n > \dfrac{1}{\alpha}- \dfrac{\pi}{2} \\\\ \Rightarrow n > \dfrac{1}{2\pi} \left( \dfrac{1}{\alpha} - \dfrac{\pi}{2}\right) \\\\\\\\ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} +2\pi n\right) = 1 > \dfrac{1}{2} = \epsilon \\\\\\ \text{donc } \exists \epsilon > 0, ~\forall \alpha > 0, ~|x | < \alpha ~\text{et}~ |f(x) - 0| < \epsilon|x| < \alpha

À partir de n > \dfrac{1}{2\pi} \left( \dfrac{1}{\alpha} - \dfrac{\pi}{2}\right)

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 16:34

Citation :
f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x - 0| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(0) | < \epsilon

Par négation on a :

\lim_{x \to 0} f(x) \neq 0 \iff [tex]\epsilon = \dfrac{1}{2}, ~ \forall \alpha > 0, ~\exists x = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n}\\\ \text{Posons} ~ \left| \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n} \right| < \alpha \\\\ \Rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2\pi} < \alpha \\\\ \Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n > \dfrac{1}{\alpha} \\\\ \Rightarrow 2\pi n > \dfrac{1}{\alpha}- \dfrac{\pi}{2} \\\\ \Rightarrow n > \dfrac{1}{2\pi} \left( \dfrac{1}{\alpha} - \dfrac{\pi}{2}\right) \\\\\\\\ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} +2\pi n\right) = 1 > \dfrac{1}{2} = \epsilon \\\\\\ \text{donc } \exists \epsilon > 0, ~\forall \alpha > 0, ~|x | < \alpha ~\text{et}~ |f(x) - 0| < \epsilon

|x| < \alpha  à partir de n > \dfrac{1}{2\pi} \left( \dfrac{1}{\alpha} - \dfrac{\pi}{2}\right)

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 16:46

Tu aurais dû fractionner ton travail: il a des confusions dans le début, et donc la suite de ton travail est impactée.Il y a de bonnes choses, mais aussi des maladresse et des inexactitudes. Je vais regarder ça.

Ta définition initiale n'est pas correcte:

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0,\forall x ~|x| < \alpha \Rightarrow |f(x)| < \epsilon

en x,inutile de garder |x-0|, et pour l'image, il n'y a pas de f(0), d'autant plus que f(0) n'existe pas (essaie sur ta calculatrice!)

Je reviens...

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 16:52

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~\forall x, |x - {\blue{0}}| < \alpha \Rightarrow |f(x) - {\blue{0}} | < \epsilon

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 16:53

À rectifier au niveau de la 2e ligne.

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 17:56

matheux14 @ 18-02-2022 à 16:52

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~\forall x, |x - {\blue{0}}| < \alpha \Rightarrow |f(x) - {\blue{0}} | < \epsilon


OK. Mais en enlevant les " - 0" comme je l'ai fait à 16 46 , c'est aussi juste et plus simple.

\lim_{x%20\to%200}%20f(x)%20\neq%200%20\iff%20[tex]\epsilon%20=%20\dfrac{1}{2},%20~%20\forall%20\alpha%20%3E%200,%20~\exists%20x%20=%20\dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2}%20+%202\pi%20n}\\\%20

Évite les équivalences qui n'en sont pas (plus tard, tu écris des implications alors que tu as besoin de l'implication réciproque.

Je te propose de rédiger en écrivant:

* la proposition que tu dois démontrer et que tu as écrite à l'avant dernière ligne (amputée du début au début de la démo)(et pas tout-à fait correcte)


* l'analyse c'est a dire le calcul qui te permet de trouver le n qui convient, et que tu as fait
Au lieu de posons (car tu ne poses pas), écris: "Soit >0 on résoud ......

et là tu mets le calcul que tu as fait correctement, mais avec des équivalences, car dans le raisonnement, tu vas remonter les equivalences.Les implications ne suffisent pas pour ton raisonnement.

* Enfin tu conclus:" alt="\exists " class="tex" />


n%20%3E%20\dfrac{1}{2\pi}%20\left(%20\dfrac{1}{\alpha}%20-%20\dfrac{\pi}{2}\right)

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 17:56

C'est parti sans crier gare...

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 18:20

Ok merci beaucoup

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 18:23

Enfin, tu conclus:
\exists \epsilon =\dfrac{1}{2};\: \forall\alpha >0;\:\exists x=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+2\pi n}\: avec\: n%20%3E%20\dfrac{1}{2\pi}%20\left(%20\dfrac{1}{\alpha}%20-%20\dfrac{\pi}{2}\right); f(x)=1\:\:donc\:\:f(x)>\epsilon

Donc la limite de f n'est pas 0

Si tu veux faire bien, tu prends pour n=E(\dfrac{1}{2\pi}%20\left(%20\dfrac{1}{\alpha}%20-%20\dfrac{\pi}{2}\right))+1

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 18:28

Pourquoi la partie entière ?

On cherche un réel non ?

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 18:31

Oui, mais n est un nombre entier! grâce auquel tu auras le nombre x, qui est , lui, un réel. x n'est défini que quand tu as la valeur de n. Bien sur, tu peux dire : n entier supérieur à... Mais c'est plus élégant d'en exhiber un, grace à la partie entière +1.

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 18:38

n= E\left(\dfrac{1}{2\pi}%20\left(%20\dfrac{1}{\alpha}%20-%20\dfrac{\pi}{2}\right)\right)+1

Pour montrer à mado que je suis ses conseils...

Posté par
jeanseb
re : Détermination de Limite 18-02-22 à 18:41

matheux14 @ 18-02-2022 à 18:20

Ok merci beaucoup


Posté par
malou Webmaster
re : Détermination de Limite 19-02-22 à 20:35

jeanseb @ 18-02-2022 à 18:38

n= E\left(\dfrac{1}{2\pi}%20\left(%20\dfrac{1}{\alpha}%20-%20\dfrac{\pi}{2}\right)\right)+1

Pour montrer à mado que je suis ses conseils...


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Détermination de Limite 20-10-23 à 09:32

Bonjour,
En ces journées de forte pluie, j'essaye de donner une démonstration genre synthèse pour ce sujet un peu ancien.
Autrement dit, sans expliciter comment on pense à utiliser certaines valeurs.

f(x) = sin(1/x).
On veut démontrer que la limite de f en 0 n'est pas 0 "en utilisant la définition de limite d'une fonction"
Dans ce but, on va démontrer ceci :
Pour tout > 0 il existe x vérifiant
|x| < et f(x) > 1/2.

Soit un réel stictement positif.
On pose k = 1+E(1/(2)) et x = \left( \dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+2k\pi }\right)

On a alors x > 0 car k > 0.
De plus k > 1/(2) ; donc 2k > 1/.
D'où /2 + 2k > 1/.
Ce qui donne x < alors que f(x) > 1/2 car f(x) = 1.

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 20-10-23 à 23:11

Salut Sylvieg,

J'aimerais bien pouvoir refaire l'exo mais cette fois ci avec g(x) = \cos\left(\dfrac{1}{x}\right).

Mais j'avoue que je n'ai pas du tout compris cette démonstration..

Comment faites vous pour les choix judicieux ?

Par exemple, pourquoi on prend f(x) > 1/2 et pourquoi posez vous  k = 1+E(1/(2)) et x = \left( \dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+2k\pi }\right) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Détermination de Limite 21-10-23 à 08:03

Bonjour matheux14,
Je vais commencer par commenter ce message :

larrech @ 17-02-2022 à 10:44

Tu ne tiens pas compte de ce qu'on t'a dit.

Citation :
\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x| < \alpha \Rightarrow |f(x)| < \epsilon


Démontre la proposition contraire si tu veux utiliser la définition

 \exists \epsilon > 0, ~\forall \alpha > 0, \exists x, |x | > \alpha \Rightarrow |f(x)| > \epsilon

Prend \epsilon=1/2 par exemple et applique ce que te suggère carpediem

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Détermination de Limite 21-10-23 à 08:15

La négation n'y est pas bonne.
La négation de "P Q" n'est pas "nonP nonQ" mais "P et nonQ".

La négation de

\forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x| < \alpha \Rightarrow |f(x)| < \epsilon
est

 \exists \epsilon > 0, ~\forall \alpha > 0, \exists x, |x | < \alpha \; et \; |f(x)| > \epsilon

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Détermination de Limite 21-10-23 à 08:21

Vois-tu le lien avec ce message ?

verdurin @ 16-02-2022 à 17:53

Bonsoir,

\forall\eta \in \R^{*+}\exists x \ |x|<\eta \text{ et } \sin\frac1x>\frac12

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 10-04-24 à 14:30

Bonjour, en repassant par là.

Citation :
J'aimerais bien pouvoir refaire l'exo mais cette fois ci avec g(x) = \cos\left(\dfrac{1}{x}\right).


On montre que \exists \epsilon > 0, \forall \alpha > 0, \exists x, |x| < \alpha et |f(x)| > \dfrac{2}{10}.

Il suffit de prendre k = 1 + \left\lfloor \dfrac{3}{\epsilon \pi} \right\rfloor

On a x = \dfrac{3}{\pi + 6k\pi} < \dfrac{\epsilon}{\pi + 6k\pi} < \epsilon et g(x) = \dfrac{1}{2} > \dfrac{2}{10}

Posté par
carpediem
re : Détermination de Limite 10-04-24 à 14:54

tu ne montres pas que g n'a pas de limite ...

prendre x = \dfrac 1 {k \pi}

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 10-04-24 à 18:09

Le but de l'exercice était de montrer que la limite en 0 est différente de 0 en utilisant la définition.

En revenant à votre remarque on peut bien montrer que si la fonction admet une limite \ell en 0 alors \ell = 0.

Et puisque \ell \neq 0, la fonction n'a pas de limite en 0.

Le plus direct dans dans ce cas serait de prendre  :

x_n= \dfrac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2} + n \pi}} et f(x_n) =(-1)^{n} qui n'a pas limite. (Pour la fonction f par exemple)

Posté par
carpediem
re : Détermination de Limite 10-04-24 à 18:56

déjà que l'exo initial était mal posé (comme il a été dit plus haut) pourrais-tu préciser ce que tu veux faire avec la fonction g(x) = cos (1/x)

parce que ton choix de x_n n'est pas compréhensible ...

Posté par
matheux14
re : Détermination de Limite 10-04-24 à 20:42

Je traitais le cas de f(x) = sin(1/x).

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