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Détermination de matrice commutative

Posté par
Vlam 06-04-14 à 17:25

Bonjour à tous!

Je coince sur l'énoncé suivant:

Déterminer les matrice Mn(K) qui commutent avec:

1. Toutes les matrices de Mn(K)
2. Toutes les matrices diagonales de Mn(K)
3. Toutes les matrices triangulaires supérieures de Mn(K).

Comment procéder?

J'ai essayer pour le 1, mais je coince déjà:

On procède par analyse-synthèse. Soit A, BMn(K)², tels que A*B=B*A.

Alors \sum_{i=1}^n a_{ni} \times b_{in} = \sum_{i=1}^n  b_{ni} \times a_{in}
\sum_{i=1}^n a_{ni} \times b_{in} - b_{ni} \times a_{in} =0_M_n(K)

Et puis je sais plus trop comment procéder... J'ai essayer d'envisager deux cas, si ain = 0, alors bin = 0, puis si ain0, on pose bni telle que la différence est nulle. Mais enfin voilà, ca doit pas répondre à l'exercice.

Toute aide est la bienvenue, merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteurre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:26

Bonjour

La réponse pour 1) est l'ensemble des homothéties.

Pour les diagonales c'est évident!

Posté par
Jygzre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:29

Si tu appelles la base (e_1, ..., e_n) et que tu considères tour à tour les projecteurs sur \mathbb K e_i parallèlement à un supplémentaire, et une matrice A qui commute avec tous ces projecteurs, que conclus-tu sur A ?

Posté par
Vlamre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:31

Bonjour Camélia

Merci pour ton aide. Peux-tu m'expliquer comment en arrives-tu à envisager l'ensemble des homothéties s'il te plaît?

Pour les diagonales, j'imagine que c'est l'ensemble des matrices? Je manque un peu de recul pour trouver cela évident :S ... Car autant si tous les facteurs de la diagonale sont égaux, on a quelque chose de la forme a*In qui commute avec tout, autant si les facteurs sot différents je suis moins sur de mon coup...

Posté par
Vlamre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:36

J'ai un peu de mal à me représenter ce que tu as écrit Jygz, je dois être un peu lent...
La représentation matricielle d'un projecteur, c'est In avec un 1 seulement au bon endroit? Je ne l'ai pas encore fait en cours

Posté par
Camélia Correcteurre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:43

Pour les homothéties, ça traine partout. Cherche "Centre de M_n(K)". Il est donc clair qu'une diagonale quelconque ne commute pas avec n'importe quelle matrice.

Ca ne te saute pas aux yeux que deux diagonales commutent?

Posté par
Vlamre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:46

Si ca me saute aux yeux! Par contre, savoir qu'il n'y a que les diagonales qui commutent, je trouvais cela moins évident...
Je vais essayer de rédiger la double inclusion avec les homothéties alors

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination de matrice commutative 06-04-14 à 17:57

Bonjour
méthode élémentaire : si ça doit commuter avec toutes les matrices, ça commutera en particulier avec celles qui n'ont qu'un coeff non nul, égal à 1 : en regardant ce que donne AB = BA pour ces matrices particulières, on apprend des choses sur les coeffs de A.


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