salut andrétou :

Soit f une fonction dériveabe sur R vérifiant f(0)=1 et telle que pour tout x appartenant à R  f'(x) = f(x)

Montrons que pour tout réel a et h ( hvoisin de 0 ) :

f(a+h) = f(a)(1+h)

Grace au nombre dérivé en a, on sait que :

f(a+h) = f(a) + hf'(a) + h(h)  avec

on en tire une approximation affine de f en a :

f(a+h) = f(a) + hf'(a)

pour a = 0   f(h) = f(0)(1+h) = 1+h
pour a = h   f(2h) = f(h)(1+h) = (1+h)²
pour a = 2h   f(3h) = f(2h)(1+h) = (1+h)³

donc :

pour a = (n-1)h   f(nh) = (1+h)ⁿ

On a donc montrer que f(nh) = (1+h)ⁿ

posons h = 1/n



soit



on a donc bien :



++ sur l'

Merci Lyonnais, c'est lumineux !...
André

de rien andrétou

heureux d'avoir pu t'aider ... Je m'étais aussi intéressé à cette trouvaille, je n'ai donc juste eu qu'a te transmettre ce que j'avais trouvé ...

++ sur l'
romain

Salut
juste une petite question lyonnais comment montres tu l'existence de la limite par laquelle tu définis e.

>> titimarion 12:24 :

c'est une bonne question , c'est vrai que j'affirme son existence mais que je ne la montre pas ... tu as une idée pour y remédier ?

++ sur l'

en fait, jusqu'ici ça va :



je sais pas si j'ai le droit de le dire, mais je veux dire que plus n est grand plus on s'approche de e

n = 5  ->  2,49
n = 10  ->  2,59
n = 100  ->  2,70
n = 10 000  ->  2,71815

alors que  e = 2,7182818285

Encore une petite question !...
Pourquoi doit-on supposer dès le départ que f(0) = 1 ?
Si f(0) # 1, alors f(1) = f(0) x (1 + 1/n)ⁿ
Et on obtient une fonction f(x) = (f(0) x e)^x qui devrait logiquement avoir les mêmes propriétés ?...

Bien à toi
André

Lyonnais le problème avec ton raissonnement de 12:36 c'estque tu supposes l'existence de e connue, mais il faut alors le définir autrement et à ce moment la tu ne réponds pas à la question d'andré.
Andre>> On suppose f(0)= 1 pour obtenir quelques propriétés de l'exponentiele comme par exemple le fait que c'est  l'application réciproque du logarithme

>> andrétou

on doit supposer f(0) = 1

car  e⁰ = 1

sinon, on aurait une autre fonction qui n'aurait pas exactement les mêmes propriétés ...

j'espère ne pas dire de bétises !

++ sur l'

Salut andré

En fait, Euler, sans lui enlever tout son génie, s'est surtout appuyé sur les travaux de Napier (francisé en Neper, d'où népérien...)(1550-1617) qui, 200 ans avant Euler, "invente" les logarithmes.

C'est ensuite Leibniz (1646-1716) qui définit e (en voulant l'appeler b, d'ailleurs !) en 1690.

Enfin Euler (1707-1783) définit la fonction réciproque du logarithme et définit e, en 1748, par une somme de série : 1 +1/1! +1/2! +...
Euler démontre aussi l’irrationalité de e.

Que de génies... !

Philoux

André c'est parce qu'il y a une erreur dans ton énoncé du départ exponentielle n'est pas la seule fonction qui vérifie f'(x)=f(x) il faut aussi que f(0)=1, pour que la solution soit unique.
Tu ne dis donc pas de betise lyonnais

Alors si l'on utilise le logarithme il suffit de définir e comme étant le réel tel que ln(x)=1 et le tour est joué pour définir e.
De plus on peut bien vérifier qualors la fonction exponentielle a bien les propriétés voulues.

Ben titimarion, on m'a toujours dit que f(x) = e^x était l'unique fonction telle que f'(x) = f(x)...
Quelles sont les autres fonctions ayant cette propriété ???...
Bien à tous
André

Tout simplement comme tu l'as dis toi même f(x)=a exp(x) avec a un réel quelconque.
Pour qu'il y ait unicité a la solution d'une equation différentielle il faut donner des conditions initiales ici f(0)=1.
mais si l'on prend f(0)=5 ca marche aussi bien.

lyonnais >
"on doit supposer f(0) = 1 car  e0 = 1 sinon, on aurait une autre fonction qui n'aurait pas exactement les mêmes propriétés ..."

Mais c'est de l'arbitraire !!!
Logiquement, d'après le très élégant raisonnement que tu as exposé, on n'a pas besoin de supposer que f(0) = 1 ; et du coup, les fonctions solution seraient de la forme f(x) = (ke)^x (avec k= f(0) )
Bien à toi
André

>lyonnais 26/07/2005 à 11:57

Un moyen plus rapide pour ta formule de 11:57 est le suivant :

Tu sais, depuis l'étude sur les ln que la limite, qd h->0, de [ln(1+h) ]/h vaut le nombre dérivé de ln(x) en 1 soit 1 :

lim [ln(1+h)]/h = 1
h->0

or [ln(1+h)]/h = ln[(1+h)^1/h]

donc, en posant h=1/n

ln[(1+h)^1/h]=ln[(1+1/n)ⁿ]

et

lim [ln(1+h)]/h = 1  devient lim ln[(1+1/n)ⁿ] = 1
h->0                               n->oo

soit encore :

lim (1+1/n)ⁿ = e
n->oo

Plus long à écrire qu'à expliquer

Philoux

Non andré ce n'est pas tout àfait cela les solutions ne sont pas du type
mais du type
Et ce n'est pas arbitraire , on choisit que afin que l'exponentielle soit bien la fonction réciproque du logarithme
C'est à dire

philoux tu as raison mais une fois de plus cela permet de montrer que cette suite tend vers e mais pour cela il fautdéjà supposer que l'xponentielle existe et qu'elle est l'application réciproque du logarithme

Oui titimarion 13:15

C'est pour cela que, pour répondre à andré sur la génèse de e, j'ai rappelé son historique (à 12:43) qui montre que tout est parti du logarithme : Euler s'est intéressé à la fonction réciproque du ln log népérien, de Neper 200 ans plus tôt !

Car sinon, on ne sais plus de l'oeuf ou de la poule, quoi déduire de qui...
Et la discussion peut tourner en rond.

Philoux

Je suis tout à fait d'acord philoux j'avais bien compris mais en fait c'était plutot pour préciser à andré que tout ce que tu faisais était basé sur le logarithme
Je ne voulais en aucun cas critquer ce que tu faisais j'aurais fait pareil.

Merci Philoux pour les rappels chronologiques judicieux.
Mais du coup, pourrais-tu nous dire comment Leibnitz a déterminé le nombre e à partir de la fonction logarithme (c'est donc Leibnitz l'inventeur du logarithme "naturel") ? Et comment parvient-on à définir e par cette formule : e = 1 + 1 + 1/2! + ... ?
Bien à toi
André
Ps : il existe quantité de livres sur Pi, mais à ma connaissance pas sur "e", et c'est bien dommage !

titimarion 13:26

tout ce que tu faisais était basé sur le logarithme

En effet, dans mon intro, je parle de la fonction ln en examinant :

lim [ln(1+h)]/h = 1
h->0

Il faut donc que la fonction ln ait été définie auparavant.

A noter de plus que la formule (1+1/n)ⁿ demande un n grand pour une précision donnée.

Celle-ci : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... trouvée par Euler et retrouvable par Taylor/MacLaurin, converge beaucoup plus vite.

Philoux

bonjour ,
je viens mettre mon grain de sel, sachant que j'ai lu vos remarque en biais.

une méthode pour montrer que la fonction exponentielle existe à l'aide de la résolution du sytème: sans passé par les fonction logarythmique
(cette méthode provient du programme d'accompagnement trouver sur un site qui est temporairement fermé).

cette démonstration repose, pour x fixé, sur la fabrication de deux suites adjacentes:
:
et
:

on peut montrer que que est croissante et est décroissante, quelles sont en fait ajacentes et donc converge vers une une valeur pour tout x
on définie ainsi une fonction qui va vérifie toutes les propriété et

je vous laisse chercher la démonstration, ou vous voulez que je vous la donne?(elle est assez longue )
(je vous dis simplement quelle repose aussi sur la propriété suivante:
pour tout réel x > -1 et tout entier n, )

voilà

je viens de me rappeler que le sujet de la 1ère composition du CAPES externe de maths de 2004 reposait sur la contruction de l'exponentiel à partir de rien (pas de logarythme).
voilà le sujet:

et pour ce qui est de la correction:


on retrouvera l'idée de la démonstration faite au-dessus

bonne journée

Salut andré

En fait, C'est Huygens (1629 ; 1695) qui s'intéresse au lien géométrique entre l’aire sous la courbe d’une hyperbole (y=1/x d'où le log, encore une fois) et le nombre e; puis Bernoulli (1654 ; 1705) propose, par un calcul de limite, une première estimation de e pour les besoins de la finance : il trouvera 2 < e < 3.

Il faut aussi savoir que Euler était l"élève de Bernoulli, à Bâle en Suisse ( deux des Suisses les plus illustres au monde (et peu de gens le savent !) )

Et comment parvient-on à définir e par cette formule : e = 1 + 1 + 1/2! + ... ?


En fait, Euler est un coauteur de la formule d'Euler-Maclaurin qui est un outil utilisé pour le calcul des intégrales, des sommes et des séries difficiles; cette formule s'en déduit.

Mais le must du must c'est surtout :

e^i.pi = -1

Dont je dois avoir qquepart une interprétation géométrique qu'un prof nous avait faite. Je la recherche : c'est grandiose !

Philoux

Merci muriel pour cette définition ex nihilo de l'exponentielle mais je crois comprendre, à parcourir le corrigé en diagonale, qu'elle ne nous est guère accessible : ça semble planer assez haut, non ?

Philoux

normalement le sujet du CAPES est pour des personne qui ont fait une licence
mais une bonne base de DEUG suffit, d'après ce que la commun des candidats dit

par contre, ma démonstration de mon message de 13:40 doit pouvoir se faire en terminale (enfin, avec de bon terminale ), vu qu'elle provient du programme d'accompagnement de la classe de terminale S (j'aurai bien donné le lien, mais il doit être fermé pour les vacances )

si tu veux je vais l'écrire ici, mais elle est assez longue

si tu veux je vais l'écrire ici, mais elle est assez longue

Si tu as le temps et le courage , bien volontiers...

Philoux

ok

Bonjour tout le monde;
lyonnais,ce que tu as écris manque de rigueur (pour ne pas dire que c'est faux) mm si le résultat est vrai:
quand tu écris: pour tout réel a et tout h voisin de 0 ceci donne
soit donc cette égalité n'est vraie que pour
il faut se méfier de ce jenre de raisonnement mm s'il permet d'aboutir à des fins vraies.
l'implication: est toujours vraie quand est fausse quelque soit la valeur de vérité de .

je note P la propriété:
pour tout réel x > -1 et tout entier n,
(elle peut se démontrer par exemple, par une récurrence sur n)

démonstration de croissante.
comme

et

on a:


d'après la propriété P (car pour tout )



ainsi, pour tout x de IR, la suite est croissante.

démonstration de décroissante.

pour tout x,
donc est décroissante pour tout x de IR.

démonstration de sont adjacentes pour un x donné.

soit x donné.

d'après la propriété P (pour un n assez grand bien sûre ).

donc:

et ainsi tend vers 0 quand n tend vers .

Les deux suites sont donc adjacentes et ont donc la même limite que l'on va noter

remarque:

démonstration de décroissante. (et au passage, montrons que est dérivable).

étudions le rapport
lorsque h tend vers 0, x fixé.

l'idée est de faire apparaître dans :


on suppose |h| < 1 et n+x > 1
en utilisant la propriété P, on a:


et en passant à la limite:


en changeant h par -h (il n'y a aucun problème, vu que |h| < 1)
puis en changeant x par x+h:
ona:


ainsi on a:
pour h > 0,

pour h < 0,

on tombe sur le résultat voulu en passant à la limite

voilà
_{fiou, je ne suis pas sûre d'avoir écrit tout juste au point de vue latex}

Muriel

ta première ligne c'est bien (1+x)ⁿ >= 1+nx ?

Merci

Philoux

oui, c'est bien cela:

>> elhor_abdelali 14:34

c'est vrai, tu as raion, mon explication manque de rigueur. Cependant, il faudrait que j'aille dire ça à mon prof de math.

En effet, je lui est posé la question, et c'est lui qui m'a fait cette démo ... donc voila, je vous la ressort

je vais maintenant regarder la magnifique démo de muriel

++ sur l'

tout droit tiré du programme d'accompagement
(il est vrai que j'ai rajouté quelque petit truc, qui me semblait pas trop évident sur le coup, mais sinon, elle vient bien de là )

En ce qui concerne le fait de trouver e sous la forme 1+1/2+....
il suffit de cherhcer une solution développable en série entière à l'équation différentielle
f'=f .
On obtiens nécessairement
qui est une définition en un certain sens plus intéressante que celle de l'inverse du logarithme puisqu'elle reste vrai dans le cas des complexes.

petite rectification (j'avais fait un copier collé )

il ne faut pas lire:
démonstration de décroissante.

mais
démonstration de .

Re-bonjour tout le monde;
muriel (Correcteur),l'inégalité pour se montre facilement par une petite étude de fonction f: on a en effet:
(les cas n=0 et n=1 étant triviaux) et
d'où le tableau de variations:

je n'ai jamais dit le contraire

>muriel

14:08 : ...vu qu'elle provient du programme d'accompagnement de la classe de terminale S ...

Tu peux nous dire ce qu'est un programme d'accompagnement ?

C'est destiné uniquement au prof ? ou aussi aux élèves ?

Philoux

le programme d'accompagnement, comme son nom l'indique permet d'accompagner le programme officiel
la bible des profs.
c'est la seule chose que le prof doit respecter.

Dans le programme d'accompagnement, on y fait mention de méthode pour la pédagogie, de l'intérêt de faire apprendre tel ou tel chose.

comme je disais, il existe un site ou tu peux trouver les programmes officiels de tous les niveau et toutes les matières, ainsi que les programmes d'accompagnement:

et vu que l'on peut facilement se perdre sur ce site, voilà le lien pour trouver les programmes d'accompagnement de maths (qui sont, je le rappel indisponible pour le moment)


est-ce que cette réponse t'a éclairé?

Bonjour,
les programmes et les accompagnement sont disponible là : http://www.cndp.fr/secondaire/mathematiques/

>muriel 18:19

Merci pour les liens.

est-ce que cette réponse t'a éclairé?

oui, c'est donc, si j'ai bien compris, une aide pédagogique pour le prof

Philoux

Merci à sanders pour le lien

A naviguer dedans, je crois comprendre que vous devez vous payer les fascicules.

Me trompes-je ?

Philoux

Non, tu peux les acheter ou les consulter, c'est gratuit.

philoux 18:31
c'est donc, si j'ai bien compris, une aide pédagogique pour le prof

c'est un peu cela

l'inégalité de Bernoulli se montre egalement par recurrence
soit n et x]-1;+[

P(n) : "pour n, x>-1 1+nx"

P(0) vraie (trivial)
supposons P(n) montrons P(n+1)
= (1+x)or
(1+x) (1+x) (1+nx) (car x+1>0 et P(n))
d'ou
(1+x)1+(n+1)x+
donc
1+(n+1)x+1+(n+1)x (car 0)
d'ou P(n+1)



(x;n)]-1;+[ :  

                  

Euler n'a jamais montré ceci.
Euleur a montré que
(1+1/n)^n convergeait et n'a pas cherché plus loin.

Il faut bien voir que e^x=exp(x) est une sorte de "hasard mathéatique" et que e^x n'a pas vraiment de sens si on ne le défini pas concretement.
La question pourrait alors se poser ainsi:
pourquoi est ce que exp(1)=e et pourquoi exp(xy)=exp(x)^y?
La deuxième question se fait bien en raisonnant uniquement sur le fait que exp'(x)=exp(x) pour tout x.

La première se résoud facilement en voyant que
log((1+1/n)^n)=nlog(1+1/n)=log(1+u)/u en posant u=1/n
la limite devient donc évidente et on peut donc conclure sur sa valeur et sur le fait que exp(1)=e
A+