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déterminer des extrema locaux

Posté par
billy 04-06-06 à 15:21

j'ai la fonction f(x,y)= (3x+4y) exp(-x2-y2)
J'ai déterminé les points critiques. Si je ne me suis pas trompée ce sont les points de la forme (x,4x/3) sauf (0,0)
Maintenant il faut déterminer les extrema locaux de f et je sèche complètement, la matrice hessienne est trop dure à calculer... Pouvez vous m'aider svp?

Posté par
raymond CorrecteurRe : déterminer des extrema locaux 04-06-06 à 16:36

Bonjour.
As-tu cherché les points critiques en annulant les dérivées partielles ?
Dans ce cas, je trouve deux points :
3$\textrm A( \frac{3\sqrt{2}}{10} ; \frac{4\sqrt{2}}{10} ) et
3$\textrm B( -\frac{3\sqrt{2}}{10} ; -\frac{4\sqrt{2}}{10} ).
Cordialement RR.

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : déterminer des extrema locaux 04-06-06 à 17:14

Bonjour;
Il est peut être plus simple de passer en coordonnées polaires pour voir que 2$\fbox{\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\\f(x=rcos(\theta),y=rsin(\theta))=5re^{-r^2}cos(\theta-\phi)} avec \fbox{cos(\phi)=\frac{3}{5}\\sin(\phi)=\frac{4}{5}}
les points critiques (et même les extrémas locaux qui sont ici globaux) sont plus faciles à determiner (vu que l'expression de f en polaire est à variables separées) on trouve:
\fbox{r=\frac{sqrt2}{2}\\\theta=\phi} et \fbox{r=\frac{sqrt2}{2}\\\theta=\pi-\phi} ce qui correspond à 2$\blue\fbox{(x,y)=\pm(\frac{3sqrt2}{10},\frac{4sqrt2}{10})}

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : déterminer des extrema locaux 04-06-06 à 17:19

Pour le second extremum local en polaire c'est plutôt \fbox{\theta=\pi+\phi} mais heureusement cela ne change pas les extremums locaux de f en coordonnées cartésiennes

Posté par
raymond CorrecteurRe : déterminer des extrema locaux 04-06-06 à 18:14

Bonsoir.
Sauf erreur de ma part (les calculs sont assez fastidieux), je trouve que la forme quadratique induite par les termes du second ordre est factorisable. A un coefficient près, cette forme est :
34X² + 41XY + 12Y² = (17X + 12Y)(2X + Y). Elle ne garde donc pas un signe constant au voisinage des points critiques. Les points critiques ne sont donc pas des extrémas.
Cordialement RR.


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