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determiner fonction caractéristique

Posté par
DLLKEVIN 13-06-18 à 10:26

Bonjour ,
(1) Soit Y une variable aléatoire de loi uniforme sur [−1, 1]. Déterminer la fonction caractéristique de Y
j'ai trouvé E[eitY] = sin(t)/t
(2) On considère une suite (Xj)j \in N
de variables aléatoires indépendantes de loi:
P\left(X_{j} = \frac{1}{2^{j}} \right) = \frac{1}{2} et P\left(X_{j} = - \frac{1}{2^{j}} \right) = \frac{1}{2}
On Pose Sn = \sum_{k = 1}^{n}{X_{k}}
(a) Déterminer la fonction caractéristique de Xj , puis celle de Sn
je bloque sur cette question quelqu'un pourrait m'aider SVP ?

Merci d'avance

Posté par
verdurinre : determiner fonction caractéristique 13-06-18 à 11:21

Bonjour,
un exemple : la fonction caractéristique de X_1 que je note \phi_1.

\phi_1(t)=\mathbb{E}(\exp\bigl($i$\,t\,X_1)\bigr) par définition.

Or \exp($i$\,t\,X_1) prend les valeurs \exp($i$\,\frac{t}2) et \exp(-$i$\,\frac{t}2) avec la probabilité 1/2 pour chacune.

On a donc
\phi_1(t)=\dfrac{\text{e}^{\text{i}t/2}+\text{e}^{-\text{i}t/2}}2=\cos\frac{t}2

Pour la fonction caractéristique de S_n on fait le produit de celle des X_j.

Posté par
DLLKEVINre : determiner fonction caractéristique 13-06-18 à 11:44

AH je vois je comprend mieux maintenant merci


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