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Déterminer la dimension d'un ev

Posté par
Abedi
18-10-20 à 18:56

Bonsoir, j'ai du mal a finir cet exo et j'aurais besoin d'aide.
On prend E,F 2 ev de dimension finie f€L(E,F).
On définit H comme {g€L(F,E) tq fogof=0}

J'ai d'abord montré que si f est un isomorphisme alors H={0}.

Ensuite on demande de déterminer la dimension de H.
J'ai essayé de trouver un application linéaire p:H--->E et d'utiliser ensuite le théorème du rang mais j'y arrive pas.
J'aurais donc besoin d'une petite piste. Merci.

Posté par
GBZM
re : Déterminer la dimension d'un ev 18-10-20 à 19:13

Bonsoir,

Peux-tu traduire la condition f\circ g\circ f =0 en utilisant le noyau et l'image de f ? Ça te permettra de raisonner en termes du rang de f.

Posté par
Abedi
re : Déterminer la dimension d'un ev 18-10-20 à 19:26

J'obtiens Im(f)CKer(f) et Im(g)CKer(f)
Mais je vois pas trop comment conclure

Posté par
GBZM
re : Déterminer la dimension d'un ev 18-10-20 à 23:28

Non, ça ne va pas. :  Im(f) et Ker(f) ne sont pas dans le même espace vectoriel, et Im(g) contenu dans Ker(f) équivaut à f g = 0.

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