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Déterminer la position relative de 2 droites
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide et de vos conseils !
Voici tout d'abord l'énoncé :
Le plan est rapporté à un repère (O;
;
).
On considère la parabole P d'équation y = x²-6x+10 et une droite quelconque d, non parallèle à l'axe des ordonnées, passant par le point I(4;-2).
On se propose de déterminer la position relative d'une telle droite avec la parabole
1. Construire la figure demandée en utilisant un logiciel de géométrie dynamique.
2. Préciser, à l'aide du logiciel, le nombre de points communs à P et à d. On vérifiera qu'il y a 3 cas possibles.
3. Démontrer les résultats observés dans les questions précédentes.
4. Reprendre les question précédente dans le cas où I(a;b) est un point quelconque du plan. Discuter suivant les valeurs de a et b.
1. Quel logiciel semble le mieux pour tracer ? Geogebra ? Sinequanon ?
2. Comment préciser avec le logiciel, en tracant les 3 cas ? Je pense que les 3 cas sont : aucun point commun, 1 point commun et 2 points communs.
Ensuite pour la démonstration je suis perdue, dois je faire un système avec les équations de droites ? Et la 4 ?
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me lire !
bonjour,
une droite passant par le point (4,-2) a pour équation:
3)pour la démonstration:
un point M(x,y)est commun à P et d si ses coordonnées vérifient les équations de P et de d
l'abscisse d'un point M est donc solution de l'équation
soit
il faut résoudre cette équation en discutant suivant les valeurs de m
4)
une droite passant par le point (a,b) a pour équation:
tu reprends les calculs du 3) avec cette équation pour la droite
Petite question cependant : Je n'arrive pas à résoudre (E). En calculant le discriminant, je trouve -12-4m+m² et je suis bloqué !
Merci d'avance
Wikiwiki
Bonjour,
pour répondre à ta dernière question je recopie ce qu'a dit veleda :
en discutant suivant les valeurs de m
cela veut dire : pour quelles valeurs de m ce discriminant est il <0, =0, >0
Mais je réponds plutôt pour l'aspet "quel logiciel"
Tu vas trouver des fanatiques de Geogebra, des fanatiques de Xcas, des fanatiques de ...
chacun persuadé qu'il utilise le meilleur logiciel qui soit.
C'est à toi de te faire ta propre opinion, chacun de ces logiciels ayant leurs avantages et leurs inconvénient.
Certains ont des versions "en ligne" sur le site de l'éditeur, permettant de tester sans installer.
Il permettent tous de faire à peu près la même chose.
Xcas permet en plus de faire facilement du calcul symbolique (simplifier et résoudre des équations) mais Geogebra est plus "intuitif" (clickodrome) en géométrie "pure" (constructions, tracés de courbes)
Dans le cas présent ta figure s'obtient très rapidement avec Geogebra (je fais partie des "fanatiques de Geogebra
) c'est donc un trinôme du second degré en m
pour étudier son signe tu calcules son discriminant et ensuite ses racines m' et m"(s'il y en a dans R)
Une fois que tu auras étudié le trinome en m, et trouvé ses racines m' et m'' selon les conseils de Veleda :
si m < m' alors 
est ... (>0 ou <0 à toi de voir)
et donc l'équation a / n'a pas de solution : 0 / 2 point d'intersection
si m = m' alors est = 0
l'équation a une racine double et 1 seul point d'intersection :
la droite est tangente à la parabole
si m' < m < m'' etc...
si m = m''
si m > m''
Je ne vois pas d'où vient le trinome avec m et en quoi il est important. C'est surement débile comme question ...
J'arrive à étudier son signe avec m >0 donc positif sauf entre les racines ce qui donne
m' = -2 et m'' = 6 mais je ne vois pas où aboutir....
ce trinome en m, c'est le discriminant de l'équation en x !
il suffit juste d'avoir de la suite dans les idées :
on cherche à discuter du nombre de solutions de l'équation
x2 - (6+m)x + 12 + 4m = 0 (E)
pour cela on en calcule le discriminant
= m² - 4m - 12
on étudie alors le signe de ce discriminant
et tu en es là
le signe de ce discriminant selon les valeurs de m répond à la question
"combien de solutions à (E) selon les valeurs de m"
Bonjour à tous,
J'ai le même exercice à faire et, grâce à vos conseils, ai réussi à avancer mais je n'arrive pas à aller plus loin que le calcule du discriminant . Je trouve bien m2-4m-12 mais je ne vois pas ce que ça apporte ni ce qu'il faut faire ensuite. J'ai bien essayer de comprendre les différents postes qui suivent et qui expliquent mais je ne comprends toujours pas.
En espérant que quelqu'un puisse m'éclairer,
Merci d'avance à tous !
ce discriminnat te donne le nombre de soultions de ton équation.
Comme ce n'est pas une valeur numérique mais une expression qui dépend de m, tu ne peux pas simplement répondre "comme d'hab" : "il y a tant de solutions qui sont ..."
tu dois "discuter selon les valeurs de m"
c'est à dire étudier le signe de cette nouvelle fonction, de m celle là :
(m) = m2-4m-12
donc tu mets de côté provisoirement le problème principal, et tu t'attaques à cette question :
étudier le signe de la fonction (m) = m2-4m-12
une fois cette fonction étudiée, tu en utilise le résultat pour répondre au problème principal :
les valeurs de m pour lesquelles (m) >0 donnent 2 solutions à l'équation du problème principal
etc...
Voilà ce que j'avais fait mais je ne pense pas que ce soit ce qu'il faille calculer si ?
(m) = m2-4m-12
-> C'est une fonction du second degré donc je calcule le discriminant :
=b2-4ac
=(-4)2-4*1*12
=-32
Donc
<0, pas de solutions (et c'est là où je pense qu'il y a un problème).Ah oui !
=64 >0 donc 2 solutions !
Une erreur de recopiage d'une feuille de brouillon à l'autre, j'aurais pu chercher longtemps..
Merci beaucoup ! Je calcule x1 et x2 pour faire mon tableau de signe c'est bien cela ?
Voilà ce que je trouve (voir photo).
J'en conclue que :
_ pour x 
]-
;-2[
]6;+[ il y a 0 points communs entre la courbe et la droite.
_ pour x ]-2;6[, il y a 2 points communs.
_ pour x=-2 et x=6 il y a un point commun.
C'est bon ?
(Ps : désolé si je poste les réponses alors qu'il ne faut pas.
)
Ok mais est-ce normal que, dans ce cas, les réponses ne collent pas avec ce que j'ai fait sur Géogebra ? Ou alors je m'y prends mal pour "lire" ?
ce n'est pas normal,
mais le problème est plutot dans ton Geogebra, moi j'obtiens par exemple ça :
où on voit bien que pour m "suffisemment grand" il y a bien deux points d'intersections
La difficulté est pour observer une telle figure de jouer sur l'échelle des axes sinon on ne voit rien du tout...
Comment fait-on pour régler l'échelle des axes justement, je n'y arrive pas. C'est dans Option > Graphique ?
Ce que je ne comprends pas c'est que pour x ]-2;6[ la droite courbe quand même la courbe en 2 points nan ?
pour règler les échelles "facilement" tu utilises la fonction 
tu peux alors règler les échelles des axes à la souris en dragant les axes eux même.
si tu cliques ailleurs que sur un axe, ça déplace toute l'image, et avec la molette de la souris tu fais zoom.
quant à :
pour x
]-2;6[ la droite coupe quand même la courbe en 2 points nan ?
pour m
]-2;6[ la droite ne coupe pas la courbe :
Ah voilà pourquoi je ne comprenez pas ! En fait la case en haut à droite de mon tableau de signe un peu plus haut n'est pas "x" mais "m" ?!
En résumé quand le coefficient directeur de la droite est compris entre ]-2;6[ il n'y a pas de points communs, etc..
Il me reste la question 4 à faire mais je la ferais demain, il faut appliquer la même méthode je pense mais avec I(a;b).
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