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Determiner le reste ; division complexe

Posté par
Ineedurhelp
07-01-17 à 14:15

Encore la,
Je bloque sur mon exercices ... (division de polynômes)
Determiner le reste de [Xcos(t)+sin(t)]^n etX^2+1
J'ai factoriser le diviseur par (X-i)(X+i) parceque je me souviens de mon prof le faire, mais sinon je suis complétement bloqué ...
Merci d'avance

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 14:17

Exercice*
J'ai factorisé*
On divise par (X^2 - 1) hein

Posté par
Flewer
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 14:22

Salut,

On divise par quoi finalement ?

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 15:04

On divise    A(X) = [Xcos(t)+sin(t)]^n      par  B(X) =   X^2+1
Je dois trouver le reste dans la division euclidienne de A par B

Posté par
jeanseb
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 15:41

Bonjour

A(X) = Q(X) (X²+1) + R(X)

Le reste est du 1er degré (aX+b)

Tu calcules a et b en remplaçant X dans l'equation par 1 puis par -i. Tu auras un système de 2 equations à 2 inconnues

Posté par
jeanseb
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 16:08

1 puis par -i.

erreur de clavier: " par i puis par -i" pour annuler le Q(X)(X²+1).

Posté par
veleda
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 17:37

bonjour,
    A est un polynôme à coefficients réels donc il suff irait  d'utiliser  A(i)=ai+b

Posté par
jeanseb
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 18:04

Bien vu, veleda!

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 21:53

Je ne comprends pas comment on peut etre sur que le reste soit de degré 1 ...
Meme en supposant n>=2 on est pas certain que A(X)>= B(X) non?
Est ce qu'il faut supposer A(X)>= B(X) dans le but que la division soit possible avec un reste different de A(X) ?

Posté par
verdurin
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 22:10

Bonsoir,
tu divises par X2-1.
Le degré du reste est, par définition, strictement inférieur à celui de X2-1.
Il est donc inférieur ou égal à 1.

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 22:15

Et meme en supposant que R soit de degré 1 je suis bloqué
J'ai A(X)=(X^2+1)Q aX+b

Après j'evalue en X=i
J'obtiens : [icos(t)+sin(t)]^n=ai+b\Leftrightarrow [i(cos(t)-isin(t))]^n=ai+b\Leftrightarrow [e^(i\pi )/2*e^-it]^n
\Leftrightarrow exp(-nit+n\pi /2)=ai+b
Et la bloqué, en supposant deja que c'est juste haha

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 22:21

Oui, j'ai compris Verdurin, merci

Posté par
verdurin
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 22:58

J'ai l'impression que tu écris n'importe quoi.

Il semble finalement que tu veuilles trouver le reste de (X\cos t +\sin t)^n dans la division par X^2+1 et non X^2-1.

On a

(X\cos t +\sin t)^n=Q(X)\cdot(X^2+1)+aX+b

En remplaçant X par i, puis par -i on obtient

(i\cos t +\sin t)^n=a\,i+b
 \\ (-i\cos t +\sin t)^n=-a\,i+b

En posant u=\frac{\pi}2-t on a \cos t=\sin u et \sin t =\cos u

Puis
(\cos u +i \sin u)^n=\cos(nu)+i\sin(nu)
D'où
a\,i+b = \cos(nu)+i\sin(nu)

Je te laisse le soin de faire le calcul de (-i\cos t +\sin t)^n
 \\ .

Ensuite il suffit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues ( a et b) pour trouver le reste demandé.

Posté par
veleda
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 23:05

c'est
exp(in(\frac{\pi}{2}-t))=ai+b
b est la partie réelle du membre de gauche et a  sa partie imaginaire

Posté par
veleda
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 23:08

je viens de demander si il y avait de nouvelles réponses  et..pas de réponse  désolée verdurin

Posté par
verdurin
re : Determiner le reste ; division complexe 07-01-17 à 23:26

Bonne année veleda.

veleda @ 07-01-2017 à 23:08

je viens de demander si il y avait de nouvelles réponses  et..pas de réponse  désolée verdurin

Pourquoi désolée ?
Pas à cause de moi, j'espère.

Posté par
veleda
re : Determiner le reste ; division complexe 08-01-17 à 10:39

>>verdurin
je voulais dire que mon intervention  n'avait pas lieu d'être après tes explications mais je ne les avais pas vues

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 08-01-17 à 12:07

J'ai vraiment écrit n'importe quoi, désolé. La division se fait bien par X^2+1
Verdurin, je veux bien continuer pour la deuxième équation,
mais je me demande, je viens de refaire mon calcul avec la forme exponentielle, et j'arrive au meme resultat que veleda ( [icos(t)+sin(t)]^n=ai+b\Leftrightarrow exp(ni(\frac{\pi }{2}-t))=ai+b
De la, je trouve b=cos(n(\frac{\pi }{2}-t))
et a=sin(n(\frac{\pi }{2}-t)).
aX+b n'est il pas le reste que je devais trouver? Pourquoi doit on refaire la meme chose en -i du coup?

Posté par
ThierryPoma
re : Determiner le reste ; division complexe 08-01-17 à 12:27

Bonjour,

Il me semble qu'une évaluation en i suffit en vertu du fait que

a+i\,b=c+i\,d\Leftrightarrow(a,\,b)=(c,\,d)

toutes les fois que a, b, c et d sont réels.

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 08-01-17 à 12:40

Okok merci !

Posté par
veleda
re : Determiner le reste ; division complexe 08-01-17 à 12:48

oui, voir mon post d'hier17h 37

Posté par
Ineedurhelp
re : Determiner le reste ; division complexe 08-01-17 à 12:58

Ok, merci beaucoup a tous, c'est plus clair



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