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Determiner les normes sur |R

Posté par
Archange21 18-11-07 à 23:46

Bonsoir,

Petit souci aussi bete soit il, comment faire pour repondre a cette question s'il vous plait ?

Determiner les normes sur

Merci a vous

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 18-11-07 à 23:51

Bonsoir, je te propose cet exo:

Soit N une norme sur \mathbb{R}. Montrer qu'il existe un (unique) a>0 tel que N(x)=a|x| pour tout x\in \mathbb{R}.

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 18-11-07 à 23:57

Bonsoir,

Je t'avoue que la je n'ai pas compris, excuse moi ...
Tu pourrais m'eclairer stp ?
Comment on fait ca ?

Merci encore

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:04

Il faut faire une démarche existence/unicité:


Pour l'existence: tu poses a:=N(1), et tu déduis le résultat de l'homogénéité de ta norme N.

Pour l'unicité: tu supposes qu'il existe a>0,\ a'>0 tel que N(x)=a|x| et N(x)=a'|x| pour tout x\in \mathbb{R}.
Et tu montres qu'on a nécessairement a=a'.

Posté par
Ksilverre : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:06

le fait que a=N(1) dnne directement l'unicité. c'est pas vraiment la peine de passer par un raisonement en deux parti.

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:08

Ca doit etre la fatigue ...

Mais pourquoi on pose a = N(1) ?
Et puis N(1) ca represente quoi ? d(1-0) ? N(1) = 1 sur R c'est ca ?

Merci et désolé encore ...

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:10

salut ksilver, oui c'est vrai que c'est pas nécessaire.

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:12

N(1) c'est la norme de l'élément 1.

si N est la valeur absolue, alors |1|=1,

mais pour une norme quelconque N, rien ne nous dit que N(1)=1.

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:19

Bon franchement je comprends rien a ce que vous racontez, pourriez vous detailler plus svp ?

Merci encore ...

"Pour l'existence: tu poses  a = N(1), et tu déduis le résultat de l'homogénéité de ta norme "
=> Rien compris o.0

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:30

ok.

penser au fait que pour tout x\in \mathbb{R}, on a x=x.1.

(\mathbb{R} a une structure algébrique plus riche que ses autres potes R^n)

l'homogénéité d'une norme N sur \mathbb{R}: \forall x\in \mathbb{R},\ \forall \lambda \in \mathbb{R}_+,\ N(\lambda x)=\lambda N(x).

Il n'y a pas grand chose à faire.

Posté par
ottore : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:34

Un peu plus fort même et ça a son importance:
N(ax)=|a|N(x) pour tout x réel et tout a réel.

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:35

Pardon c'est même pas ça l'homogénéité:

3$\forall x\in \mathbb{R},\ \forall \lambda \in \mathbb{R},\ N(\lambda x) = |\lambda| N(x).

Désolé

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:37

Citation :
Un peu plus fort même et ça a son importance:
N(ax)=|a|N(x) pour tout x réel et tout a réel.


oui c'est vrai que pour cet exo, il vaut mieux la véritable définition.

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:41

ok mais pour l'exo, ca donne quoi ?

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:45

Là si je t'en dis plus, c'est la réponse quoi.

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:48

C'est peut etre ce qu'il me faut pour que je comprennes finalement, car la def que vous avez donné, je la connaissait mais la je vois pas du tout ou en venir avec ...

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:49

aïe, tu as quoi comme définition d'une norme?

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:52

pardon j'ai mal lu.


N(x)=N(x.1)=|x|N(1) =|x|a = a|x|

Donc toutes les normes sur \mathbb{R} sont de cette forme.

Reste à voir si les fonctions de la forme: x\rightarrow N_a(x)=a|x|, avec a>0 sont toutes des normes sur \mathbb{R}, et tu les auras toutes déterminées.

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:52

1- N(x)=0 <=> x=(0,0,...,0) p*0 si on est dans Rp.
2- N(lx)=|l|N(x)
3- l'inegalite triangulaire

Posté par
Archange21re : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:54

Oh mon dieu j'imaginais pas un truc aussi simple ... j'ai honte o.O
Merci encore a toi

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:56

oui enfin dans la définition, tu dois aussi préciser un quatrième point, c'est que N est une application définie sur \mathbb{R}^p à valeurs dans \mathbb{R}_+.

Posté par
romure : Determiner les normes sur |R 19-11-07 à 00:58

Citation :
Oh mon dieu j'imaginais pas un truc aussi simple ... j'ai honte o.O


la fatigue sûrement

Non je plaisante, je t'avouerais que quand j'avais fait cet exo, j'ai galéré un peu comme toi, il faut y penser quoi.


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