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Déterminer n tels que (1+i)^n soit un réel négatif
Posté par xEn0
Bonsoir, j'ai un DM à faire et une des questions demande de « Déterminer les entiers naturels n tels que (1+i)^n soit un réel négatif. La solution ne m'étant pas venu naturellement je suis allé me renseigner sur internet sauf que toutes les solutions au problème comportent la forme polaire or nous ne l'avons pas encore étudié … Pour le moment nous n'avons que la base des nombres complexes et la seule formule que je vois potentiellement servir est celle du Binôme de Newton bien que je vois pas comment il pourrait m'aidé à trouver les valeurs de n. En faisant quelque manipulations j'ai trouvé que la solutions étaient tous les multiples impaires de 4 mais sans la forme polaire je ne vois pas vraiment une manière de le prouver… Si quelqu'un voit une solution à apporter sans utiliser la forme polaire je suis preneur…
Je vois que (1+i)^2 = 2i donc pas un entier négatif
(1+i)^3 = -2 + 2i pas un entier négatif
(1+i)^4 = -4 donc un entier négatif
Est ce qu'à partir de la je peux en déduire une cycle de 4 ?
Et donc faire (1+i)^8 = 16 pas un entier négatif
(1+i)^12 = -64 donc un entier négatif
Il faut donc que n soit un multiple impairs de 4…
Parce que j'ai l'impression qu'en faisant ça on fait plus une conjecture qu'une réelle preuve…
C'est pour ça que j'ai des doutes…
pour le moment oui...
et si tu poses n=4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, est-ce que tu ne balaierais pas toutes les valeurs de n possibles ?
Effectivement et on prouverais que pour
n=4k+1,
n=4k+2 et
n=4k+3
on n'obtient pas d'entiers
Il nous reste de que n=4k qui nous donne un entier et pour qu'on obtienne un entier négatif il faut que k soit un entier naturel positif impair…