bonjour

si suite il y a (je vois pas trop), ce serait plutôt U(2n)=U(n)+n
.

je crois qu'elle est pire que la mienne :s, En plus son expression serait : Un = U0 + n-1, je vois pas en quoi ça m'aide ?

quel est, exactement, ton énoncé (au mot près, stp ?
.

déterminer l'ensemble des fonctions bijectives vérifiant :
f(2x - f(x))= x
(je t'ai fait copier coller)

f[2x - f(x)] = x

ah ok, je croyais que tu avais oublié une parenthèse !

2x - f(x) = f^-1(x)

f-1(x)+f(x) = 2x

je me demande si ce n'est pas tjs v rai que ( f(x) + f-1(x) )/2 = x ?
.

mais justement c'est ce qui m'avait permis ,en posant Un+1 = f(Un), d'obtenir:
Un = 1/2(Un+1 + Un-1)

Bonjour,

Une piste peut-être :

f[2x-f(x)]=x2x-f(x)=f^-1(x)f(x)+f^-1(x)=2x...

Par exemple l'application identique xx fait partie des solutions.

Bien vu, mais je cherche l'ensemble des solutions ... Ou pourquoi ne pas chercher à prouver à travers ma suite que c'est la seule solution !!

On cherche les bijections de R dans R?

Euhh ... on cherche les fonctions bijective vérifiant :
f[2x - f(x)] = x

Au fait cauchy voilà ce que j'ai fait
"je pose donc Un+1= f(Un)
et comme f est bijective, elle admet une réciproque.
Et donc le résultat auquel j'aboutit en utilisant la condition sur f est :
Un = 1/2 (Un+1 + Un-1)"
On peut s'en sortir ainsi ?

Je sais pas j'ai pas encore réfléchi,on sait rien d'autre sur f croissante continue?

patrice pour toute constante a la fonction x-->x+a vérifie aussi ton équation.

rien de plus !! Mais Patrice a proposé la fonction identité, ça m'étonnerais qui en ait une autre !

Et vérifie aussi celle de karim.

tout à fait ... peu probable d'en trouver d'autres !

Tu es certain au mot près parce que la derniere fois c'etait pas ca.

C'est donc une bijection de R dans R c'est tout,pas d'hypothese de continuite,monotonie,bornitude rien de rien?

Juste de continuité ... mais être bijectif c'est être continue non ?

Une hypothese qui se rajoute tiens,recopie mot pour mot.

Etre bijective non c'est pas etre continue,exemple f(x)=x+1(Q)(x) avec l'indicatrice de Q.

Déterminer l'ensemble des fonctions continues et bijectives sur R vérifiant :
f[x-2f(x)] = x
Indication : Utiliser une suite.
Désolé je croyais que c'étais en plus.

Zut :
f[2x -f(x)] = x

Cauchy, tu pourrais me faire une démo du fait que ta fonction est bijective non continue ?

Continue, avec la densité de Q je m'en sors... mais bijective ?

Ok,déja bijective continue ca équivaut à strictement croissante ca peut peut etre servir.

On a remarqué aussi que toutes les fonctions de la forme x--->x+a sont solutions,on peut penser que ce sont les seules.

Non justement elle est bijective non continue.

Surjective si y est irrationnel alors f(y)=y ok.
  si y rationnel alors f(y-1)=y-1+1=y donc elle est bien surjective.

Maintenant si f(x)=f(y) si tous les deux sont rationnels on a clairement x=y de meme si ils sont irrationnels.

Si x est rationnel et y irrationnel on ne peut avoir f(x)=f(y) sinon on aurait x+1=y soit y rationnel.Contradiction.

Oui je voulais dire que pour montrer qu'elle n'est pas continue on peut utiliser la densité de Q. Mais c'est vrai qu'elle est très intéressante ta fonction !!

Oui elle n'est continue en aucun point.

Je dois y aller bonne recherche

pas d'blm

Avec une suite je pense pouvoir montrer que f est l'identité si on suppose une bijection d'un intervalle dans lui meme mais de R dans R ca nous rajoute les translatées x+a et je vois pas pour l'instant.