le sous espace vectoriel V des matrices diagonales est de dimension n une base en est les matrices telles que
si i=j =1
sinon =0

d'apres ton exercice  il suffit de remarquer que le supplementaire E est l'ensemble des matrices ayant que des zeros sur leur diagonale ( aa montrer...)
sa dimension est n²-n = n(n-1)

une base de E sont les matrices telles que

si i=j alors =0
si i>j alors = 1
si i<j alors = -1

avec un denombrement on montre que la dimension est n²-n
V et E sont supplementaires (la demo est triviale)


on considere le produit scalaire definit par
<,> :
        (A,B)Tr(B)

soit AV alors A
et soit B E alors B s'ecrit comme combinaison lineaire des
B= + +.....+ +.......+++.....+

j'arrete ici car le latex est trop long........
mais tu observe que la matrice B est une matrice qui aura que des 0 sur la diagonale ( a cause des matrices ainsi Tr(B)=0
  

alors
<A,B>=tr(B)=0

donc E et V sont orthogonaux

Bonjour Evgueny,bonjour aicko;
Généralement on note la base canonique de
( étant la matrice carrée d'ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ième ligne et la jème colonne qui vaut )
cette base est orthonormale pour le produit scalaire:
donc
où et comme on voit que:

Merci aicko, merci elhor pour vos réponses.