essaye un petit changement de variable x'=x-f(y) ; y' = y tu vas tomber sur une forme plus simple f(x)+f(y)=2-x-y

Si f est solution du problème elle est de la forme t a - t (prendre y = 0 et poser t = x - f(0)) .
Cela te permet de montrer que a ne peut être que ..

Tu fais une réciproque .

et comme ça j'aurais une fonction f ?

Moi je dis qu'à partir de f(x)+f(y)=2-x-y , en faisant x=0 et y=0 tu trouves f(0)=1
puis en faisant y=0 ça donne f(x)+f(0)=2-x donc f(x)=1-x

Mais le truc c'est qu'il faut déterminer les fonctions vérifiant f(x-f(y))=2-x-y et non f(x) + f(y)

As-tu bien lu toutes les réponses????

Oui mais je ne suis pas sûr de toutes les comprendre..

glapion 18h48

Oui et du coup j'ai f(x')=2-x-y

non...

Je suis perdu là...

si tu fais le changement de variables x'=x-f(y) ; y' = y dans f(x-f(y))=2-x-y ça donne
f(x') = 2 - x - y' et x tu le remplaces par x' + f(y) donc x' + f(y')

ce qui donne donc au total f(x') = 2- (x' + f(y')) - y' qui peut s'écrire f(x')+f(y') = 2 - x' - y'

Après, suis le déroulement de mon post précédent.

Si f est solution du problème pour tout x on a : f(x - f(0)) = 2 - x donc pour tout t , f(t) = 2 - (f(0) + t) = a - t si on pose a := 2 - f(0).

Pour tout (x,y) on a donc 2 - x - y = a - (x - (a - y)) = 2a - x - y et donc a = 2 et f n'est autre que l'application h : t 2 - t .

Il reste à voir si h vérifie " (x,y) ² h(x - h(y)) = 2 - x - y " .
Si oui tu diras que le problème a une seule solution qui est h et si non qu'il n'en a pas ..

Merci, j'ai compris et réussi, un grand merci !

j'ai pas bien compris prière de me donner la solution avec les étapes svp c'est urgent c'est un devoir pour dmn et merci😃

difficile de donner plus d'explications, l'exercice est pratiquement entièrement fait.

oui mais j'ai pas bien compris , j'ai juste besoin du corrigé sinn c la merde pour moi dmn avec le prof stp Glapion

non, je ne fournis pas de corrigés. Si tu lis bien les explications, tu as ton devoir fait.

ok vous pouvez me donner les explications par ordre car j'ai rien compris ace qui ai écrit dans le forum c mal organisé jsais pas par quoi commencer

Bonjour,

Il y a souvent plusieurs résolutions.
En posant y= -x nous obtenons:
f=constante ne satisfait pas l'équation donnée ,donc le membre de gauche
ne dépend pas de x et l'argument de f    , .c=?

Alain

Bonjour !
Je sais que ce poste est ancien mais je n'ai toujours pas tout compris :/
J'ai posé X=x-f(y) donc à la fin j'ai eu f(X) +f(y) = 2-X-y
À partir de là j'ai trouvé f(0)=1 et je me suis arrêté à f(X) =1-X
Je ne sais pas quoi faire après pour déterminer les fonctions répondant à l'exercice sachant que je me retrouve avec f(X) et pas f(x) !
Merci à ceux qui prendront la peine de me répondre

Peu importe comment s'appelle la variable, si on a trouvé que f(X) = 1-X on a complètement défini la fonction et donc la solution.

OK du coup je marque que l'unique fonction f de R dans R telle que f(x-f(y)) =...    
  est f(X) = 1-X et c'est bon ?

oui, si on a déduit ça des données du début par implications c'est que c'est la seule solution.

Bonjour
ce n'est pas f(X), la fonction, mais f, et elle est définie par : pour tout X, f(X) = 1-X, ou encore : pour tout t, f(t) = 1-t, ou encore : pour tout x, f(x) = 1-x....

D'accord je vois, merci beaucoup pour vos réponses

Un autre exemple ici Equations de maths...

Bonsoir, maintenant ce post date mais j'ai exactement la même chose sauf que le 2-x-y est remplacé par un 1-x-y. Je sais que cela ne change pas la résolution mais nous n'avons pas encore vu les changements de variables en tout cas avec des fonctions je voulais donc savoir si on peut le résoudre par un autre moyen. Merci d'avance et si j'ai pas de réponse parce-que le post date tant pis pour moi

Tu poses et tu trouves .
Tu poses et tu as
Tu vérifies alors que la fonction trouvée correspond bien à ce qui demandé dans l'énoncé.

salut

pour le fun :

f[x - f(y)] =2 - x - y => f[x - f(0)] = 2 - x

les fonctions g : x --> 2 - x et x --> x - f(0) sont affines donc bijectives donc f l'est aussi

la courbe de la fonction x --> f[x - f(0)] est la translatée de la courbe de g ...

or f(x - f(y)) = 2 - x - y <=> f(y - f(x)) = 2 - x - y

et f est bijective donc x - f(y) = y - f(x) <=> f(x) - f(y) = y - x

donc f est affine et f(x) = a - x     (taux de variation constant)

f [-f(y)] = 2 - y permet de déterminer a ...