Bonjour,
Que dire du signe de ta suite sachant que celui de f(x) est connu ?
Est-ce compatible avec sa limite éventuelle ?

Ou plutôt, regarder les termes de rang impairs.

merci  de  votre réponse  mais je ne vois pas ou vous voulez que j'aille  en connaissant le signe .  
Cependant   je  regarde la limite
la suite des rang paires temps vers +00  et  la suite de rang impair vers -00 .
Mais ca ne m'aide pas trop ou je ne vois pas  ce que l'on attend

As-tu bien compris d'où viennent le 2 et le -3 ?

Si tu cherches f sous la forme avec a complexe, quelles sont les possibilités pour a ?

De même, si tu cherches f convexe (ou sci/scs), transformée de Legendre, approximation par des fonctions affines après avoir fait le traail pour les fonctions affines

mon -2 et 3  viennent  de ma résolution  de l'équation  caractéristiques X²+X-6 .  
pourquoi?

Bonjour Ulmiere,
Oui, on peut chercher les fonctions affines solutions.

Je poursuis avec la piste de recherche de disz :
Je veux en venir à te faire trouver .

Ma suite  doit étre positif et pourquoi la suite de rang impaire ne  tend elle pas toujours vers - 00?

mais de ce fait je ne trouve toujours pas lambda

Une suite positive peut-elle avoir comme limite - ?

ou peuvent être nuls...

J'ai eu une lumière cette nuit.
A partir d'un certain rang  la suite a des termes négatifs si lambda  est non nul .  De ce fait c'est impossible des lors u_n est  de la forme donc  
donc  les fonctions sont de la forme  f(x) = 2x
si j'ai bien réfléchi cette nuit

La nuit porte conseil, c'est bien connu
C'est un peu rapide, mais c'est l'idée.
En particulier le passage de u_n à x dans ta dernière ligne est un gros parachute qui mérite une démonstration.

J'avais poser au début
comme je trouve que u_n est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme  lambda .
donc
Si on a f(x) =2x  on a bien tex]u_{n+1}= f(un)[/tex]
c'est ca.  

Non, c'est la réciproque qu'il faut faire :
Sachant que les suites ainsi définies vérifient , il faut en déduire f(x) = x.

Un indice : Tu n'as jamais parlé du 1er terme de la suite.

Je ne vais plus être disponible avant la fin de l'après midi.
Mais la journée aussi peut porter conseil !

la désolé  je ne comprend pas trop   surtout l'indice. aprés c'est peut étre moi qui ne voit pas ou il faut en venir avec cette démonstration.

Bonjour,

En l'absence de Sylvieg.

La suite que tu as trouvée doit permettre de calculer l'image d'un réel positif quelconque par.
Mais pour cela il faut déterminer .

bonjour  
Ext ce que  cela serait possible de reprendre tranquillement .
J'ai trouvé  que
Dés lors  est ce que j'ai ?  
Ensuite j'ai bien défini une suite géométrique ?  donc donc  par implication  f(x) = 2x .
Or  j'ai fonctionné  que par implication??
Je  vérifie  que f  correspond  a mon problème  et la  j'ai la réciproque ?

Essaie de mettre tout ça en forme sur le plan du raisonnement, en attendant le verdict de Sylvieg ce soir.

Je suis de retour
Merci larrech d'être intervenu.
@disz,
Avec ce que tu as fait, comment justifies-tu f(5) = 10 par exemple ?

Que f(5)= 2* 5

La je me perd dans les différent message c'est pour ca

Le problème est que tu parles de suites définies seulement par la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n).
Pour définir vraiment une telle suite, il faut autre chose :
Le premier terme.

Si tu travailles avec une seule suite, tu ne démontres pas f(x) = 2x pour tout x de ₊ ; mais seulement pour les termes de cette suite.
Par exemple, si tu travailles avec la suite de premier terme u₀= 3 et u_n+1 = f(u_n), tu démontres que
u₁ = f(3) = 23 = 6,
u₂= f(6) = 26 = 12,
etc...
Mais tu ne démontres pas f(5) = 10.

Je te conseille donc de bien préciser que tes suites sont définies par le premier terme u₀ = a avec a dans ₊ et u_n+1 = f(u_n) pour tout n de .
Je pense que tu as correctement démontré qu'alors u_n = a2ⁿ pour tout n de .
Que peux-tu en déduire pour f(a) ?

Il se peut que le cas a = 0 soit à traiter à part.

En faite le problème vient du fait que j'ai  définie une suite  or  
Dans ma résolution  de mon équation  je trouve  que les solutions sont de la forme   avec a dans R+

de ce faite   j'ai démontrer que pour u_n est une suite géométrique donc qu'elle  est définit par  la relation u_n+1= f(u_n)  avec f(x)=2x   avec u_0 = a .
De ce fait pour tout a dans R+ f(a) =f(u_0)= 2a
  Mais quand  je fais ca je n'ai pas traiter toutes les valeur de R+ c'est ca N

Moi aussi je m'y perds dans tes réponses.
" j'ai défini une suite " : Comment ?
" je trouve que les solutions sont " : Les solutions de quoi ?
" De ce fait pour tout a dans R+ f(a) =f(u_0)= 2a " : Si ceci est démontré, alors l'exercice est traité, non ?
"je n'ai pas traité toutes les valeur de R+" : Oui, si tu ne précises pas clairement que tu n'utilises pas une suite, mais des suites qui dépendent du premier terme a dans ₊.

peut on reprendre s'il vous plait  je fais un topo de ce que je fais .  :  L'énoncé  est  

Déterminer les fonction

tel que  pour tout x>=0  on a (1)

Pour ce faire , je définie la suite tel que

Ainsi   à l'aide de (1) , j'obtient  la suite réccurentes linéraire d'ordre 2 :


A l'aide de cette inégalité je trouve que  
Cependant  pour tout n , u_n doit étre positif  car  f est valeur positive
,ce qui entraine  que De plus donc
Ainsi ,   de ce fait u est une suite  géométrique de raison 2 et de premier termes a >0

Dés lors on a des lors  f(u_0) = f(a) =2a  pour tout a positif
Vérifions qu'une telle fonction  vérifie (1) ce qui est  le cas


Est ce que ce que je fais est correct ? manque t il des éléments?
Désolé de vous embéter avec cela .  et merci de votre aide

D'accord, c'est beaucoup plus clair et tu ne m'embêtes pas
Quelques détails :
Il manque un + après le second à la seconde ligne.
C'est "égalité" et pas "inégalité" dans" A l'aide de cette inégalité ".
Dans " donc ", je remplacerais le second a par :
Et " Vérifions qu'une telle fonction vérifie (1) " par " Vérifions que la fonction définie sur ... par f(x) =2x vérifie (1) ".

Plus embêtant :
Dans les pointillés il faudrait pouvoir mettre ₊.
Mais la démonstration de f(0) = 0 ne me semble pas faite.

Si j'ai bien compris ,  Il faut que je démontre que f(0)=0 à  partir de (1) ou a partir  de ce que j'ai trouver .
Ensuite  Pour le R+  a mettre dans les pointillés ,  je ne comprend pas la question ?

Oui, mon pointillé était malvenu.
Je rectifie :
" Vérifions que la fonction définie sur ₊ par f(x) =2x est bien telle que (1) soit vrai "

Pour démontrer f(0) = 0, qui ne tente rien n'a rien.
Essaye avec (1), et si ça ne marche pas, essaye avec autre chose.

avec 1  on obtient  que  fof(0)= f(0)  donc ca m'avance a rien .  Ensuite
Avec la suite  si u_0= 0  u1= 0  aussi  or u1=f(u0) donc  ca marche ca ?

Merci de  votre aide .  j'avais  oublié le moins . et bonne soirée

De rien, et à une autre fois sur l'île

Si Ulmiere repasse, il pourra peut-être te guider vers une autre résolution qu'il avait évoquée il y a deux jours.

salut

j'ai suivi depuis le début mais l'intervention d'un orange me poussait à ne pas intervenir ...

je ne comprends pas trop l'insistance sur les suites :

déjà l'idée de considérer une suite ne me serait pas venue  (mais ce qui est vrai pour tout réel doit aussi l'être pour quelques réels donc très bonne idée) mais à partir de là je ne comprends pas pourquoi allez aussi loin et en particulier le pb de f(0)

une fois qu'on a trouvé

disz @ 17-08-2021 à 16:27


Je résoud et j'obteint  que  u_n  est égale à

Bonjour,

Carpediem, reprends calmement le fil : pour tout positif ou nul, la suite des est une suite vérifiant une relation de récurrence d'ordre 2. Le fait que pour tout entier permet de démontrer que pour tout entier .
En particulier pour tout

merci GBZM mais justement je ne comprends pas pourquoi on ne conclut pas comme tu le fais en trois lignes :

lorsqu'on arrive à toute suite fⁿ(a) avec a 0 et f(x) = 2x pourquoi ne pas conclure directement en vérifiant que ce f est la solution (c'est le msg de Sylvieg de 8h43 qui m'interpelle) et pas/plus besoin de s'embêter avec cette histoire de premier terme et de f(0)

parce ce qui compte ce n'est pas les suites en soi (qui vérifient l'équation de récurrence d'ordre 2 obtenue à partir de l'équation fonctionnelle et ce indépendamment du premier terme) mais d'obtenir les fonctions solutions de l'équation fonctionnelles

on a bien vrai pour tout a donc pourquoi ne pas conclure immédiatement que f(x) = 2x est le candidat solution ?

Bonjour de la mandarine
J'ai voulu continuer sur l'idée de disz que je trouvais intéressante et originale.
Je reprends depuis le début.

L'énoncé :

Citation :
Déterminer les fonction

tel que pour tout x>=0 on a

Merci GBZM pour tes messages
J'ai été très longue à répondre car j'ai tenté d'être la plus claire possible.
Du coup, je me suis rendue compte d'une faille dans la démonstration du coefficient de (-3)ⁿ égal à 0.
Finalement, elle se comble facilement.

Penses-tu qu'on peut trouver une démonstration plus naturelle ?
J'ai tendance à penser que disz avait rencontré auparavant quelque chose du même genre utilisant une suite.

merci à tous les deux !

moi aussi je trouve cette idée originale et intéressante ...

ce que je veux dire c'est que :

1/ l'objectif est de trouver une fonction de la variable réelle positive

2/ on commence par trouver une fonction de la variable entière (avec cette idée de suite : n --> a * 2^n et qu'on mette un a ou un ne change formellement rien) et donc une suite de réels associée à deux fonctions : x --> 2x et x --> -3x

3/ on élimine la deuxième avec les hypothèses et la première répond aux hypothèses sans s'occuper du premier terme ou quoi que ce soit (même si je comprend que Sylvieg aidait bien sûr disz) et on ne se préoccupe pas de ce pb de = a ou pas (ce qui compte c'est la fonction x --> 2x qui ne peut être que le seul candidat et non pas quelques suites de réelles)

en gros pourquoi perdre son temps avec des considérations sur le premier terme (qui doit être positif) l'important étant que la fonction f : x --> 2x marche et que c'est la seule et que si elle marche de R+ dans R+ alors toute suite a * 2^n = f^n(a) avec a 0 marchera aussi

(mon interrogation est simplement cela ... peut-être ma confusion vient du fait que disz introduit inutilement un a alors que dans l'expression générale on a immédiatement sans s'embêter avec un a) (car on a vu que par positivité de la fonction)

carpediem, je ne comprends pas ton raisonnement.
Je ne vois pas où tu montres que f : x --> 2x est la seule qui "marche".

Carpediem, j'ai l'impression qu'il faudrait que tu révises sérieusement la résolution des récurrences d'ordre 2. Me trompé-je ?

parce que si on combine avec g(x) = -3x il n'y a plus positivité ...

quand on arrive à les u_n sont des réels et la suite obtenue (à partir du premier terme quel qu'il soit) ne donne que quelques réels mais à cette suite on associe/reconnait la fonction f : x --> 2x qui elle marche

et parmi les fonctions kf (k réel) (les multiples de f) la seule qui vérifie l'équation fonctionnelle est pour k = 1

cependant et comme je le disais plus haut

GBZM : ce n'est pas la résolution des récurrences d'ordre 2 qui me pose pb

à partir de la relation fonction f o f(x) = 6x - f(x) disz a l'idée (originale) de considérer les suites du type

ceci conduit aux deux fonctions F(x) = 2x et G(x) = -3x (et je ne parle même plus de suite dès maintenant) et à toutes leurs combinaisons linéaires (pas de pb)

les conditions du pb avec f de R+ dans R+ amènent à ne considérer que F

je dis alors simplement que le pb est fini et résolu : seule F(x) = 2x est solution (car vérifie toutes les conditions)

merci de votre patience mais peut-être que je me pose une mauvaise question plus de forme que de fond !!

Allez, Carpediem, ça ira mieux demain quand tu reprendras ça à tête reposée.

Désolé  de retour de  petites vacances.
J'ai eu l'idée tout simplement  que je sortais  d'exercices sur les équation différentielle . Ensuite ce qui m'a  frappée c'est que j'avais une fof écris en fonction de f  et de x
donc  ca m'a sauté aux yeux .
Ensuite.
Je ne vois pas comment en 2 coup de cuillère a pots on peut en partant de l'énoncé tombé directement sur  f(x) = 2x .

l'ensemble des fonctions affines (et aussi des fonctions homographiques (qui contient les fonctions affines)) est un groupe pour la composition

et d'autres termes si f et g sont affines/homographiques alors il en est de même de f o g (loi interne)

on "voit" donc "très vite" que f(x) = 2x est une solution ...

quant à savoir si c'est la seule ....

@carpediem,

si si !!

mais je veux dire qu'une fois qu'on "voit immédiatement" que f(x) = 2x est solution (et que j'avais vu immédiatement avec ma remarque précédente) on ne sait pas encore s'il y en a d'autres sauf à faire un raisonnement plus approfondi comme ici ...