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Déterminer une matrice diagonale
Dans mon énoncé, j'ai B une matrice de deux valeurs propres :
-2 et -1.
Pourquoi sa matrice diagonale D est celle-là ? :
- 2 0 0
0 -2 0
0 0 -1
carpediem
J'ai oublié de préciser la matrice :
B = -1 -1 1
1 -3 1
1 -1 -1
ENONCE DE L'EXERCICE 1 :
Soit E = M3(R) l'ensemble des matrices carr ́ees d'ordre 3 `a coefficients r ́eels.
On note I3 la matrice identit ́e de E et 03 la matrice nulle de E.
Soit A 1'ensemble des matrices M de E v ́erifiant l' ́egalite :
M (M +I3) (M +2I3) = 03 (∗)
Partie A : Exemples de matrices appartenant a` A .
1. D ́eterminer l'ensemble des r ́eels α tels que αI3 ∈ A .
2. L'ensemble A est-il sous-espace vectoriel de E ?
3. On note B =
−1 −1 1
1 −3 1
1 −1 −1
(a)
On pose X1 =
1
1
0
X2 =
1
1
1
Calculer BX1 et BX2.
(b) En d ́eduire deux valeurs propres de B.
D ́eterminer une base de chacun des sous-espaces propres
associ ́es.
(c) D ́emontrer que B est diagonalisable, et expliciter une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que : B = PDP^−1
salut
en notant (i, j, k) "la base canonique" dans laquelle est écrite la matrice B alors on voit immédiatement que :
B(i + j + k) = -(i + j + k)
B(i + j) = -2(i + j)
B(j + k) = -2(j + k)
il est donc immédiat que -1 et - 2 sont valeurs propres d'ordre 1 et 2 (car i + j et j + k sont linéairement indépendants)
...
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