Tout d'abord, dans votre formule de J0(x), écrivez 1/(2pi) au lieu
de 2/pi, ceci pour être correct, compte-tenu du domaine d'intégration
de 0 à 2pi que vous indiquez.


L'établissement de votre seconde formule se fait assez facilement par récurrence.
Mais cette méthode est totalement indépendante des fonctions de Bessel
qui sont le sujet de la question, si j'ai bien compris.


Si vous cherchez à retrouver la formule grâce aux propriétés des fonctions
de Bessel, je suppose que vous avez le droit d'utiliser le développement
en série de la fonction J0(x) considéré comme connu.

Il suffit de considérer la dérivée (2n)ième de J0(x). Pour x=0, on voit
alors la relation très simple avec la formule que vous cherchez.

Le coefficient de x^(2n) dans le développement en série de J0(x) donne
immédiatement le résultat.

(Toutefois, sans oublier de multiplier par (2n)! du fait des dérivations successives,
de multiplier par 2Pi qui figure dans l'intégrale de J0(x) et
de diviser par 4 du fait des domaines d'intégration qui sont
de 2pi pour l'une et pi/2 pour l'autre).