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Deux distances définissent mêmes ouverts

Posté par
HacH 07-10-19 à 21:28

Bonjour, il y a un passage que je ne comprends pas dans la résolution de cette exercice :

Pour x,y\in[0,1], on pose  :
d(x,y) = |x-y|  
D(x,y) = |\sqrt{x}-\sqrt{y}|

Montrer que les distances d et D définissent les mêmes ouverts.

Resolution :

On cherche à montrer que pour les topologie induites on a \mathcal{T}_d = \mathcal{T}_D

Cours : \mathcal{T}_d \subset \mathcal{T}_D \Leftrightarrow I : ([0,1] ; D ) \rightarrow ([0,1] ; d ) est continue (I est l'application identité).

On a d(I(x),I(y)) = d(x,y) = D(x^2,y^2)

Passage que je ne comprends pas : Comme f(x) = x^2 est continue donc I est continue

Ensuite tout le reste c'est ok c'est juste ce passage que je ne comprend pas...

Merci de votre aide.

Posté par
HacHre : Deux distances définissent mêmes ouverts 07-10-19 à 23:47

Personne ?

Posté par
jsvdbre : Deux distances définissent mêmes ouverts 07-10-19 à 23:50

Bonsoir HacH.

Ici, il faut imaginer la situation.

Dans ([0,1],d) un intervalle ]a,b[ est une boule de centre \frac{a+b}{2} et de rayon \sqrt b^2 - \sqrt {\frac{a+b}{2}}^2

Dans ([0,1],D), ce même intervalle ]a,b[ est une boule de centre \frac{a+b}{2} et de rayon \sqrt b - \sqrt {\frac{a+b}{2}}

Comme la fonction "carré" est continue sur [0,1], elle y est uniformément continue et donc, en particulier :

|\sqrt b - \sqrt {\frac{a+b}{2}}|\leq \eta \Rightarrow |\sqrt b^2 - \sqrt {\frac{a+b}{2}}^2|=|\sqrt b - \sqrt {\frac{a+b}{2}}||\sqrt b + \sqrt {\frac{a+b}{2}}| \leq 2\eta

La conclusion sur la continuité de I s'ensuit en prenant \eta = \varepsilon/2 dans la définition de la continuité.

Posté par
etniopalre : Deux distances définissent mêmes ouverts 07-10-19 à 23:59


P0ur montrer que les tologies sont les mêmes   tu  peux montrer que pour tout x  de  [0 , 1] et tout r > 0 il existe  s > 0 et t > 0  tels que

BOD(x , s)     BOd(x , r)
BOd(x , t)     BOD(x , r)

Posté par
luzakre : Deux distances définissent mêmes ouverts 08-10-19 à 08:35

Citation :

Passage que je ne comprends pas : Comme f(x) = x^2 est continue donc I est continue

Comme il y a deux distances, parler de continuité sans préciser les distances utilisées (ensemble de départ, ensemble d'arrivée) fait que je ne comprends pas non plus !

.................................
Ce que propose etniopal s'appelle aussi : continuité de la fonction identité de (E,d) vers (E,D) et inversement.

Posté par
carpediemre : Deux distances définissent mêmes ouverts 08-10-19 à 09:51

salut

pour être même extrêmement précis il faudrait écrire :

I = [0, 1]
E = (I, d)
F = (I, D)

et on veut montrer que : E = F

alors : f : x --> x^2 est continue de E dans E et de F dan F

dans ce que tu as écris : on se sert de : f est continue de F dans F donc D o f est continue et d(x, y) = D o f (, ,y) = D(x^2, y^2) soit d = D o f

ce me semble-t-il ...

Posté par
HacHre : Deux distances définissent mêmes ouverts 08-10-19 à 17:29

Merci pour l'aide. Pouvez vous me confirmer la rédaction suivante que j'ai fait aujourd'hui :

$d(x,y) = |x-y|$ et $D(x,y) = |\sqrt{x}-\sqrt{y}|$

\usepackage{mathrsfs} $\mathscr{T}_d \subset \mathscr{T}_D $ $ \Longleftrightarrow $ $I : ([0;1] , \mathscr{T}_D) \rightarrow ([0;1] , \mathscr{T}_d)$ est continue $ \Longleftrightarrow $ $I : ([0;1] , D) \rightarrow ([0;1] , d)$ est continue

$Est-ce que $ I : ([0;1] , D) \rightarrow ([0;1] , d)$ est continue ?

I$ continue si et seuelemnt si :$

$\forall x\in [0;1], \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 , \forall y \in [0;1], D(x;y) < \eta \Rightarrow d(I(x) ; I(y)) < \epsilon$

$On remarque que $d(I(x) ; I(y)) = d(x ; y) = D (x^2 ; y^2)

$Posons $g : ([0;1] , D) \rightarrow ([0;1] , D)$ , $x \mapsto x^2

$Donc $D (x^2 ; y^2) = D(g(x) ; g(y))

$Donc $I$ continue si et seuelemnt si :

$\forall x\in [0;1], \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 , \forall y \in [0;1], D(x;y) < \eta \Rightarrow D(g(x) ; g(y)) < \epsilon$

$Autrement dit $I$ continue si et seuelemnt si $g$ est continue.

$Est-ce que $g : ([0;1] , D) \rightarrow ([0;1] , D)$ , $x \mapsto x^2$ est continue ?

$Supposons que $ D(x;y) < \eta  

D(g(x) ; g(y)) = |\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2}|

= |\sqrt{x}^2-\sqrt{y}^2| = |\sqrt{x}+\sqrt{y}||\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leqslant (1+1)\eta = 2\eta = \epsilon

$Donc en posant $\eta = \frac{\epsilon}{2} $ on à la définition de la continuité de $g$.

\usepackage{mathrsfs}$Donc $g$ est continue, donc $I$ est continue donc $\mathscr{T}_d \subset \mathscr{T}_D $

Posté par
carpediemre : Deux distances définissent mêmes ouverts 08-10-19 à 19:52

ça me semble raisonnable ...


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