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Deux exercices très importants....(Nightmare....)
Bonjour
J'ai deux exercices importants a vous donner
Ils proviennent des oraux du concours des petites Mines
Serez vous les resoudre avec RIGUEUR ?
Exercice 1
Determiner les applications f:
qui sont additives et croissantes.
(Attention c'est delicat => Astuce : Procéder par Analyse/Synthèse)
Exercice 2 :
Soit 
une racine complexe de l'equation x²+x+2=0
On note
[] = {a+b|(a,b)
²}
1) Prouver que [] est un sous anneau de 
2) Prouver que : 
z[], z(barre) [] et que zxz(barre)
3) Soit z=a+b
avec []. Prouver que a+b est inversible dans [] ssi a²+2b²-ab=1
Déterminer alors les élément inversibles de []
Merci de vos reponses...
Bonjour,
le 1) est ultra classique par exemple ici:
fonctions vérifiants f(x+y)=f(x)+f(y)
Pour le 2),vérifie les propriétés d'un sous-anneau.
Bonsoir.
Je me permets de poser : = µ pour des raisons de frappe clavier.
1°)
Z[µ] est non vide et la soustraction est stable.
Pour le produit, il suffit de voir que µ² = -2 - µ pour prouver la stabilité.
Cela donne d'ailleurs une loi assez "exotique" :
(a + µb)(a' + µb') = aa' - 2bb' + (ab' + a'b - bb')µ.
2°)
Il suffit de savoir que l'équation x² + x + 2 étant à coefficients réels, µ solution => solution.
Donc µ + = -1 =>
= - 1 - µ.
3°)
Je ne trouve pas la même chose que l'énoncé.
a + µb inversible <=> a² - 2b² = 1 et 2ab - b² = 0.
A plus RR.
Pourriez vous etes plus precis pour l'exercice 1 ?
Car vou utiliser certes le fait qu'elle est additive mais pas la croissance de f
Ce qui rajoute une condition
Nan ?
Pour le 2 es tu sur de ce que avance pour la question 3 ? Peux tu me detailler chaque question point par point ?, je suis sur que ca peut servir aux personnes présentes sur ce forum.
Merci de vos reponses....
Re bonsoir
Pouvez vous me detailler l'exercice 1, je dois vous avouer que je suis totalement "pomé"
Ca serait vraiment cool
Merci 
Ben oui mais je ne vois pas l'analyse /synthese et le fait qu'il/elle utilise la monotonie de f
De plus c'est un exemple avec 1 et non pas dans le cas general.
Pouvez vous m'aider, c'est vraiment très important que je comprenne
Merci
Ben avec 1
Il prend f(1) + f(1) .... et n f(1) => Je ne comprends pas
N'y a t'il pas une demonstration purement analytique par analyse/synthese ?
Merci de m'aider
Bien en général quand on a une équation fonctionnelle on essaie de regarder en certaines valeurs pour obtenir quelque chose.
Donc la on remarque qu'avec 1 on obtient f(1+1)=2f(1)=f(2) etc...
Donc la valeur de f(1) nous permet comme ca de connaitre les valeurs aux points entiers,puis on passe aux rationnels.
En fait la on fait l'analyse pour trouver les conditions nécessaires que notre fonction doit vérifier.
Réciproquement on vérifie ensuite que ces solutions conviennent.
Mais je n'arrive pas a comprendre le raisonnement
De plus, notre professeur nous demande une redaction avec beaucoup de rigueur et je n'y arrive pas
Pourrais tu essayer de m'aider ? Car je me suis prix une tole au dernier DS et j'aimerai bien me faire pardonner en lui rendant un truc impecable
Merci
Tu as compris ce qu'on essaye de faire.
On cherche les fonctions qui vérifient f(x+y)=f(x)+f(y).
On voit tout d'abord que f(x-x)=f(0
Déja on peut remarquer par exemple que f(x+0)=f(0)+f(x) donc f(0)=0.
On voit ensuite que f(x-x)=f(0)=0=f(x)+f(-x) donc f(-x)=-f(x) et f est impaire.
On peut donc restreindre son étude sur R+.
Ensuite on remarque que f(1+1)=f(2)=f(1)+f(1)=2f(1).
Par récurrence on montre ensuite facilement que f(n)=nf(1).
On se demande alors naturellement si on ne peut pas étendre cela à tout R+ cad pour tout x on va essayer de montrer que f(x)=f(1)x.
On le montre tout d'abord pour les rationnels.
Un rationnel est de la forme p/q.
Donc f(p)=f(p+p+...p/q)=qf(p/q) donc f(p/q)=(p/q)f(1)
Maintenant c'est la qu'intervient l'hypothese décisive de continuité qui permet d'étendre un résultat de Q à R car Q est dense dans R.
En effet soit x un réel alors x est limite d'une suite de rationnels x_n=p_n/q_n donc x=lim x_n.
Or f est continue donc f(x)=f(lim x_n)=lim f(x_n)=lim f(p_n/q_n)=lim (p_n/q_n)f(1)=xf(1).
Alors : 1) que veut dire ce signe : q_n ( le trait bas) ?
2) On est ce qu'on utilise la croissance ?
3) Comment conclure en toute rigueur ?
Merci
q_n c'est q indice n.
Je me suis trompée je croyais qu'on cherchait les fonctions continues.
Si tu cherches les fonctions croissantes tu dis ceci;
tu prend une suite xn croissante de rationnels qui converge vers x,une suite decroissante yn de rationnels qui converge vers x donc pour tout n xn<=x<=yn.
Tu as f(xn)<=f(x)<=f(yn) et tu conclus en passant a la limite pour obtenir xf(1) en utilisant les gendarmes.
Et bien tu conclus en disant que toutes les solutions croissantes sont de la forme f(x)=ax ou a=f(1).
Oula réécrit moi tout s'il te plait
Je vois mieux ce qu'il faut faire mais c'est encore flou
Donne moi al redaction finale s'il te plait ( copié/collé)
Merci grandement en tout cas...
Que je te réécrive tout mais il y a déja tout tu dois pouvoir recoller simplement la conclusion qui change car il faut remplacer le passage sur la continuité par mon deuxieme message sur la croissance.
Ok merci
Je te ferai part de tout cela demain dans la matinée
Merci Cauchy c'est vraiment simpa
Et pour l'exercice 2, il y a t'il vraiment une erreur pour la question 3 ?
.Bonsoir.
Cauchy : désolé de te décevoir, j'avais fait une erreur de recopiage.
Verbatim 74 : pour l'exercice 2) la condition d'inversibilité est bien a² - ab + 2b² = 1.
Dans ce cas, inv(a + µb) = a-b - µb
Encore désolé pour cette erreur.
A plus RR.
Donc f(p)=f(p+p+...p/q)=qf(p/q) donc f(p/q)=(p/q)f(1) => N'y a t'il pas une erreur sur cette ligne ?
Et puis 2 suites ( une croissante et une decroissante) qui tendent vers x , vous en connaissez vous ?
A aussi Cauchy, tu dit un moment ; " tu prend une suite xn croissante de rationnels qui converge vers x,une suite decroissante yn de rationnels qui converge vers x donc pour tout n xn<=x<=yn."
C'est pas plutot pour n appartenant a Q ?
Enfin , rapymond pourrait-il detaillé l'exercice 2
Je ne comprends absolument rien a ce qu'il a fait
Ca serait vraiment cool de m'expliquer
Merci
Bonjour.
Je reprends l'exercice.
1°) Structure
Je pose A =
¤ 0 € A donc A est non vide
¤ z = a + b et z' = a' = b'
deux éléments de A. Alors
a) z - z' = (a - a') + (b - b') appartient à A
b) z.z' = (aa' - 2bb') + (ab'+ba'-bb') appartient à A.
Donc : est un sous anneau de
2°) Etude des conjugués
L'équation x² + x + 2 = 0 étant à coefficients réels, solution =>
solution.
En outre, la somme des deux racines vaut : et le produit vaut
a) Soit z = a + b dans A, alors :
= a + b
= a + b(-1 -
) = (a-b) + (-b)
: appartient à A.
Par ailleurs, z =
Ok j'ai compris
J'attend la suite avec impatience
Merci grandement
Désolé, j'ai appuyé sur envoi involontairement. Je poursuis
Par ailleurs, = a² + ab(
+ (
b² = a² - ab + 2b² qui est bien un entier.
Pour toute la suite j'appelle D = a² - ab + 2b² cet entier
3°) Etude du groupes des inversibles de A
a) Remarquons d'abord que a + b = 0 <=> a = b = 0
b) Soit z un élément inversible de A, donc z non nul.
Calculons dans
Donc, :
Pour que 1/z soit dans A, il faut que x et y soient des entiers, donc que x² -xy + 2y² soit entier.
x² - xy + 2y² = ((a-b)² + b(a-b) + 2b²) =
(a² - ab + 2b²) =
.
Or, 1/D est entier ssi D = 1 ou D = -1.
Mais D = (a - b)² +
b² : somme de deux carrés ne peut être égal à -1.
Donc a + b inversible <=> a² - ab + 2b² = 1.
c) Recherchons ces éléments.
D = (a - b)² +
b² = 1 <=> (2a - b)² + 7b² = 4
Si b est non nul, le membre de gauche vaut au moins 7 : impossible, donc b = 0.
Il reste a² = 1, donc a = -1 ou a = 1.
Les éléments inversibles de A sont ceux de Z : -1 et 1.
Désolé de l'avoir envoyé en deux fois. A plus RR
2 suites ( une croissante et une decroissante) qui tendent vers x , vous en connaissez vous ?
Merci raymond, c'est impec !!
C'est pas plutot pour n appartenant a Q ?
n c'est en indice c'est un entier,je considère des suites de rationnels les éléments x_n sont des rationnels.
On en exhibe pas explicitement de suite on utilise la densité de Q dans R.
Q est dense dans R donc l'intersection de tout intervalle de longueur 1/n autour de x réel contient un rationnel et meme une infinité donc on peut construire une suite croissante de rationnels qui converge vers x.
Et aurais tu 2 suites a me proposer : une croissante et l'autre decroissante, convergent vers x ?
La partie entiere que je t'ai proposer marche pour xn mais pour yn je ne toruve pas ( suite decroissante convergent vers x)
Merci de me donner un dernier coup de pouce...
La partie entiere d'un nombre est constante elle ne risque pas de converger vers ce nombre.
Justement on se contente de dire qu'elles existent on ne les exhibent pas.
Tu ne pourrais pas m'en trouver deux s'il te plait qui converge vers x car c'est bien beau de dire qu'elles existent mais pour les toruver ???
Mais on les trouve pas comme cela,on a x qui est un réel completement quelconque,souvent en maths on a que l'existence d'une chose sans avoir d'expression explicite.
Sais tu que Q est dense dans R,si oui on s'en sert pour construire cette suite.
L'intersection de ]x-1/n,x+1/n[ avec Q est non vide alors pour tout n.
Construisons notre suite par récurrence.
On pose x1 un rationnel inférieur à x-1.
Supposons qu'on ait construit x2,....xn une suite de rationnels tels que pour tout n on ait xn dans ]x-1/n,x-1/(n+1)] (la suite est strictement croissante par construction)
Il nous faut donc construire x(n+1) rationnel et x(n+1) appartient à ]x-1/(n+1),x-1/(n+2)].
L'intervalle ]x-1/(n+1),x-1/(n+2)] a une intersection non vide avec Q car Q est dense dans R,choisissons x(n+1) un de ses rationnels alors x(n+1) est supérieur à x(n) par construction.
Par récurrence on construit donc une suite strictement croissante de rationnels qui converge vers x car |x-xn|<=1/n.
Bonsoir.
C'est exact que l'on n'a pas besoin de montrer de telles suites, la densité de Q dans R étant suffisante.
Cependant, il existe deux telles suites élémentaires. Soit x un réel quelconque, on pose :
un = valeur approchée par défaut à l'ordre n de x
vn = valeur approchée par excès à l'ordre n de x.
A plus RR.
Bonsoir Cauchy.
Tout à fait, troncature à l'ordre n pour la suite minorante.
En appelant Ent(z) la partie entière du réel z, on peut écrire, pour tout x positif :
un = 10-n.Ent(10nx)
vn = 10-n.Ent(10nx + 1)
A plus RR.
Franchement je viens de rediger mes exercices
J'y est ajouté quelques compléments et c'est vraiment nikel !
Merci du fond du coeur a tous ceux qui m'ont aidé
Dommage que je n'ai pas de scann pour vous montrer la beauté du travail
Merci
Oué C'est bon
J'ai repris ca avec mon cours et ca m'a bien eclairci
Merci bien
D'ailleurs j'ai un probleme de limite a ce sujet
Pourrais tu y jeter un coup d'oeil ?
J'ai un autre petit probleme en fait
Comment montrer la reciproque de L'exercice1 ?
De partir de f:. Et de supposer qu'il existe a + telque x,f(x)=ax
Et ensuite de demontrer que f est additive et croissante
Pourriez vous le faire ?
Merci de m'aider
Codialement
Ben oui j'ai essayé
Mais si on prend x et y et que l'on est injecte
Ca fait a(f(x)+f(y)), mais c'est pas demontré
De meme pour la croissante, je veux bien derivé mais on a rien sur f..
Comment faire ?
Comment ca on a rien sur f on pose f(x)=ax avec a>0 et on montre qu'elle est additive et croissante.
Elle est évidemment croissante c'est une droite de coefficient directeur positif.
Ensuite f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y).
Ok j'avais juste une imprecision dans mon enoncé
Merci
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