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deux petites sommes ....

Posté par berrod (invité) 23-09-05 à 18:41

salut  g deux ptits problemes


  la somme pour 1 plus petit ou egal a i strictement plus petit que j plus petit ou egal a n de (1-i)j


  la somme pour p compri entre 1 et n, et q compri entre 1 et n de min(p,q)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:deux petites sommes .... 23-09-05 à 23:03

Bonsoir;
pour la première somme je trouve 4$\blue\fbox{-\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{8}}
Sauf erreur...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : deux petites sommes .... 24-09-05 à 09:38

Démonstration possible :

\Bigsum_{1\le i<j\le n}(1-i)j
=\Bigsum_{j=2}^n\Bigsum_{i=1}^{j-1}(1-i)j
=\Bigsum_{j=2}^nj\Bigsum_{i=1}^{j-1}(1-i)
=-\Bigsum_{j=2}^nj\Bigsum_{i=0}^{j-2}i
=-\Bigsum_{j=2}^nj.\frac{(j-2)(j-1)}{2}
=\Bigsum_{j=2}^n(-\frac{1}{2}j^3+\frac{3}{2}j^2-j)
=\Bigsum_{j=1}^n(-\frac{1}{2}j^3+\frac{3}{2}j^2-j)+0
=-\frac{1}{2}(\frac{n(n+1)}{2})^2+\frac{3}{2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}
=\frac{n(n+1)}{8}(n^2-3n+2)

\fbox{\Bigsum_{1\le i<j\le n}(1-i)j=-\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8}=-3{n+1\choose 4}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:deux petites sommes .... 24-09-05 à 10:31

Bonjour;
notons 2$\fbox{I_n=\Bigsum_{1\le p,q\le n}min(p,q)\\S_n=\Bigsum_{1\le p,q\le n}max(p,q)}
on a: 3$\fbox{S_n+I_n=\Bigsum_{1\le p,q\le n}(p+q)=n^2(n+1)\\S_n-I_n=\Bigsum_{1\le p,q\le n}|p-q|=2\Bigsum_{1\le p\le q\le n}(q-p)=2(\Bigsum_{q=1}^{n}q\Bigsum_{p=1}^{q}1)-2(\Bigsum_{p=1}^{n}p\Bigsum_{q=p}^{n}1)=2(\Bigsum_{q=1}^{n}q^2)-2(\Bigsum_{p=1}^{n}((n+1)p-p^2)}
3$\fbox{S_n+I_n=n^2(n+1)\\S_n-I_n=\frac{n(n+1)(n-1)}{3}} on trouve curieusement:
5$\blue\fbox{I_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\Bigsum_{k=1}^{n}k^2\\S_n=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}}
Sauf erreur bien entendu


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