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Deux questions sur la topologie
Bonjour, je sollicite votre aide sur deux exos en topologie.
Exercice 1 :
Montrer que toute fonction continue et croissante est un homoéomorphisme. Je n'arrive pas à montrer que f^-1 est continue.
Exercice 2 :
Soit Q un polynôme de R[X] sindé.
on note xk ces racines. Soit yk tel que : xk<yk+1<xk+1
Phi(k) l'application : P -> P(yk)*Q(yk)
Phi est une forme linéaire dans un EV de dim finie donc est continue.Ceci est toujours vrai ?
Ensuite, pourquoi est ce que : V = l'intersection (Phi(k)^(-1)(R+*)) est un voisinage ouvert de Q ?
Merci d'avance pour votre aide 
Bonsoir,
Pour l'exercice 1, c'est faux.
La fonction de
dans
est croissante et continue mais n'est ni surjective, ni injective, donc elle n'est pas un homéomorphisme.
1) tu montres que f est bijective,
2) f est une bijection croissante de I sur J, donc est une bijection croissante de J sur I.
Ensuite tu montres que pour tout intervalle ouvert réel U, l'image réciproque par f de est de la forme
, V étant un intervalle ouvert.
f et jouant des rôles symétriques, tu auras montré que f est un homéomorphisme de I sur J.
Bonjour Camélia,
J'avais eu un exo similaire, mais c'est vrai que c'était avec et
.
Par contre je ne trouve pas de contre-exemple pour I et J des parties quelconques de R.
C'est bien avec des intervalles que ça marche. Voici un contrexemple:
f: ]0,1]
]2,3[
]0,2[
défini par f(x)=x si x
]0,1] et f(x)=x-1 si x]2,3[
Elle est bien continue, strictement croissante, et ce n'est certainement pas un homéomorphisme!
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