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Dev asymptotique d'une série
Bonjour,
je dois trouver le dev asymptotique à 2 termes de la série
somme(1/racine(1+k^2),k=0..n)
Je pense que le premier terme est ln(n) mais je n'arive pas a trouver le suivant. J'ai fait une comparaison série-intégrale la fonction étant la dérivée de argsh et je vois que le second terme est en o(1) mais je ne sais pas comment le trouver...
merci d'avance
Bonjour
On pose :
On a :
Or
Donc
En particulier la série de terme général diverge.
Voilà sauf erreur ...
Bonjour,
Il y a certainement plusieurs méthodes, selon les pré-acquis.
D'une façon très générale, les sommes infinies de fractions polynomiales s'obtienent grâce aux fonctions polygamma. Dans le cas de 2x/(x²+n²), la fonction digamma donne le résultat:
Somme pour n=1 à infini de 2x/(x²+n²) = (pi/th(pi*x)) - (1/x)
Lorsque x tend vers l'infini, th(pi*x) tend vers 1 donc la limite est (pi/1)-0 = pi
Ne pas tenir compte de mon message précédent : il s'agissait dela réponse à une autre question, envoyée ici par erreur.
Pour répondre à "parc64" :
On est bien d'accord que le premier terme du développement asymptotique est ln(n). Mais on ne peut pas affirmer sans démonstration que le second terme est o(1).
En effet ce pourrait être une fonction de n tendant aussi vers l'infini, mais moins vite que ln(n). Par exemple, ce pourrait être une fonction de la forme (ln(n))^(1/2), ou ln(ln(n)), ou etc...
En fait, c'est bien une constante (page jointe):
Bonsoir
On pose
Et : de sorte que
On définit les suites et
par :
Alors :
donc
De plus :
(f est décroissante)
donc est décroissante
Par un raisonnement analogue est croissante.
Donc et
sont adjacentes
On note leur limite commune.
On a donc
i.e.
Bonjour,
on a vu dans les réponses précédentes qu'il est relativement aisé de montrer que le second terme du développement asymptotique est une constante.
Mais quelle constante ?
Répondre à cette question est nettement plus ardu.
Une méthode assez compliquée fait appel à la transformation de Hankel. On obtient ainsi l'expession de la série sous forme d'une intégrale dans laquelle figure une fonction de Bessel (document joint)
Ensuite, le développement asymptotique de cette intégrale selon n tendant vers l'infini (ce qui passe par un développement compliqué) permet d'obtenir la constante sous forme d'une intégrale.
La constante peut être calculée numériquement avec la précision que l'on veut.
Mais en raison de cette intégrale comportant une fonction de Bessel, elle ne s'écrit pas avec les fonctions usuelles en nombre fini.
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