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dev limité, gradient, matrice jacobienne
Bonsoir,
Après avoir lu et relu mon cours, je n'arrive toujours pas a y trouvé des aides pour avancer cet exercice. Etant donné que mon cours est, d'après moi, vide et sans rapport avec les exercices que j'ai à faire : j'ai besoin d'aide.
Je suis preneuse, si vous avez, de sites avec un cours en rapport avec cet exercice et les notions qui s'y rapportent 
Soit l'application f de 
2 dans définie par :
(x,y) 
2, f(x,y) = x2 + xy + y2 - 3y + 2
1) Montrer que f(x,y) = 0 définit implicitement y en fonction de x au voisinage de (0,1).
Avant de m'aider pouvez vous m'expliquer la question ? "au voisine de (0,1) signifie quand x tend vers 0 et y tend vers 1 ?
2) Donner le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction définissant implicitement la courbe d'équation f(x,y) = 0 au voisinage de (0,1).
Cette formule est-elle correcte pour donner le développement limité : f(x,y) = f(0,0) + f'(0,0)/1! *xy + f''(0,0)/2! *x2y2 + x2y2
(x,y) avec lim = 0 quand (x,y)
(0,0)
3) Déterminer le gradient, la matrice jacobienne et le matrice Hessienne de f en tout point de 2
En cherchant sur internet, pour le gradient, j'ai trouvé : grad f(x,y) = 
f(x,y)/x + f(x,y)/y
est-ce correcte ?
pour la matrice jacobienne :
x2 + xy + y2 - 3y + 2 est une fonction différentiable avec des dérivées qui sont des polynômes donc f est différentiable
Jf(x,y) = (f(x,y)/x f(x,y)/y)
= (2x+y+y2-3y-3+2 x2+x+2y-3+2)
dois-je garder les +2 ? le reste est-il juste ?
pour la matrice Hessienne, j'ai trouvé que c'est la dérivée partielle à l'ordre 2 donc je dérive la matrice jacobienne :
Hf(x,y) = (2f(x,y)/x 2f(x,y)/y)
= (2+y+y2-3y+2 x2+x+2-3+2)
dois-je garder les caractères en gras ? le reste est-il juste ?
4) Donner le développement limité ) l'ordre 2 au voisinage de (0,1) de la fonction f.
est-ce juste si je prend cette formule : f(x,y) = f(0,1) + f'(0,1)/1! *xy + f''(0,1)/2! *x2y2 + x2y2(x,y) avec lim = 0 quand (x,y)(0,1)
5) Sans calculs, quelle est la nature des extrema éventuels de f sur 2 ?
quelles sont les différentes natures des extréma ?
6) Déterminer les points critiques de f sur 2
j'ai trouvé sur internet que les points critiques sont ceux qui annulent la dérivé de f ?
7) Déterminer la nature des ces points critiques en terme d'extremum.
Merci par avance pour votre aide 
Cordialement
Bonsoir,
Soit muni de sa norme euclidienne
(toutes les normes y sont équivalentes). Alors, pour
,
est un voisinage très particulier de . Plus généralement, l'on dit qu'une partie
de
est un voisinage de
, si il existe
tel que
. En particulier, un ouvert de
est voisinage de chacun de ses points.
Pour le gradient, l'on a que
Thierry
bonsoir,
Pour la question 1
Tu peux écrire Y explicitement en fonction de x
en écrivant y²+y(x-3)+x²+2=0
positif au voisinage de x=0
en x=0 y=1 ou 2
ou
Ainsi pour x=0 et y=1 donc au voisinage de (0;1)on a
pour la question 2 ta matrice jacobienne est fausse
Quant à la hessienne il faut que tu revois la définition
Bonsoir, merci pour votre aide
Pourriez vous cependant m'éclairer sur certains points ?
pour 
x ma formule est (x-3)2-4(1)(2)
deux questions :
- pour mon -4ac mon "a" vaut le 1 de devant le x2 ou le y2 ?
- j'arrive au résultat x2-6x+1 donc comment trouvez-vous -3x2 ?
ensuite si j'ai bien compris : pour x=0 j'ai x=1
donc dans les formules de y je remplace x par 0 et x par 1 j'ai donc mon premier y = 1 et le deuxième y=2 donc je ne garde que la formule de y en fct de x où y vaut 1 ?
pour la matrice jacobienne j'ai compris mes erreurs : Merci ^^
par contre pour la matrice hessienne je ne comprend pas 
Bonsoir,
Pour la première question, je ne suis pas d'accord avec DOMOREA, car c'est le théorème des fonctions implicites qui est à l'honneur ici.
Pour la matrice hessienne, je t'invite à revoir ton cours, tout comme pour la première question.
Thierry
le probleme c'est que il n'y a vraiment pas grand chose dans mon cours ! juste quelques définition et théorème mais rien d'explicitement expliqué. j'ai déjà du faire mon premier devoir dans le cours car on dirai qu'il n'est pas en rapport avec les exercices. c'est pour ça que si vous avez des cours en lignes à me proposer je veux bien !
bonjour,
@ThierryPoma,
Je voulais simplement dire que au voisinage du point J(0;1) La fonction F(x,y) peut se traduire par une fonction qui exprime y explicitement en fonction de x,
Cette expression peut être intéressante car pour le DL en ce voisinage on sait que
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