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Dév. Limité ln(1+sin(x))

Posté par
Ravendorf 15-03-15 à 19:52

Bonjour,

Premier message sur ce forum, soyez donc indulgent si je ne respecte pas les règles de bienséances en vigueurs ici !
Mon problème est tout bête, je pense avoir la réponse mais j'aimerais confirmation



Je cherche le développement limité de ln(1+sin(x)) au voisinnage de 0 à l'ordre 2 :

=> sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + x^6E(x)

=> J'introduis sin(x) dans mon ln(1+ sin(x)) à l'ordre 2, j'obtiens : ln(1+sin(x)) = (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + x^6E(x)) - (\frac{(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + x^6E(x))^2}{2!}) + x^6E(x)  

=> Je commence la simplification, en remarquant que dans mon (\frac{(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + x^6E(x))^2}{2!}) , il ne va me rester que du \frac{x^2}{2!} , puisque lorsque je développe, tous les autres termes vont avoir un ordre < 2.

=> Ainsi, lorsque je simplifie tous les éléments d'ordre < 2 , j'ai : ln(1+sin(x)) = x + \frac{x^2}{2!} + x^2E(x) ?



Voilà, je suis conscient qu'il n'y a pas réellement de question, juste savoir si tout cela est correct et si à la fin j'ai le droit d'écrire x + \frac{x^2}{2!} +x^2E(x) ? L'ordre de mon reste est-il correct ?

Merci d'avance à toutes les âmes charitables qui me répondront !
Mathématiquement,
Ravendorf.

Posté par
rayperre : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:00

Coucou !

Alors tout d'abord, si tu veux faire un DL d'ordre 2 sur une fonction composé il suffit de faire un DL à l'ordre 2 sur chaque fonction. Pas besoin d'aller à l'ordre 6 pour sin, l'ordre 2 suffit : sin(x)=x+o(x^{2})

Ainsi ln(1+sin(x))= x - \frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}) directement

Et donc oui au passage tu as oublié un signe moins en route dans ta simplification.

NB=o(f(x))=f(x)\epsilon(x) où (x)->0 lorsque x->0

Posté par
LeDinore : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:02

Ton résultat est faux.
Et le calcul est bien plus simple...

f(x) = \ln(1+\sin x) = \ln\left(1+x+o(x^2)\right) = x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)

Posté par
Ravendorfre : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:20

Merci à vous deux pour vos réponses.
Je viens de comprendre mes erreurs :

Dans le calcul que j'ai fait, la simplification se fait sur - \frac{(x  - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!})^2}{2!} => j'ai donc bien oublié un moins ! ^^'

Ensuite pourquoi est ce que j'ai fait un calcul si long ?
Tout bêtement parce que, voici la formule que j'ai eu pour sinus : sin(x) = (-1)^n * \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + x^{2n+2} E(x) !
Pour avoir un DL à l'ordre 2, je pensais qu'il fallait appliquer cette formule avec n=2 ! D'après ce que j'ai compris de vos explications, on applique juste cette formule avec un n suffisamment grand pour avoir de l'ordre 2 à la fin ? Du coup ici, n=0 ça marche direct ! ^^

Ceci dit, je suis quand même content de voir que mon raisonnement était bon (à part le signe moins), c'est "juste" beeaaauuucoup plus long !!

Dites moi si j'ai bien compris
Merci encore

Posté par
LeDinore : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:24

Citation :
Dites moi si j'ai bien compris
Tu veux que NOUS on dise si TU as compris...
C'est rigolo ...

Posté par
Ravendorfre : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:26

Me suis mal exprimé : dites moi si je n'ai pas fait d'erreurs dans la compréhension de mes erreurs !

Mieux ? ;P

Posté par
rayperre : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:28

Par contre dans la formule du DL de ln il n'y a pas de factorielle, alors qu'il y en a dans celui de sinus.

L'ordre correspond au la puissance à coté de ta fonction E(x) dans le développement.

Un conseil, il est plus facile de retenir la forme "développée" des DL et de retenir la logique de la suite.
ex pour sinus:
ça commence par x-x^3/6 on retient qu'on a que les puissances impaires, qu'on commence avec un +x puis on alterne les signes, et qu'on divise par la factorielle de la puissance. Un truc dans le genre.

Moi je trouve ça plus simple, après c'est subjectif

Posté par
LeDinore : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:29

Il faut développer le sinus à l'ordre qui suffit pour obtenir l'ordre 2 à l'arrivée.
Développer le sinus à l'ordre 2 semble suffire ici, donc c'est réglé.
Si ça n'avait pas été le cas, il aurait fallu développer plus loin.
Si tu as compris ça tu as compris le principal.

Posté par
Ravendorfre : Dév. Limité ln(1+sin(x)) 15-03-15 à 21:31

Je suis bien d'accord avec toi, je les ai appris comme ça aussi
Merci pour la précision sur l'ordre d'un DL, et effectivement j'ai mis des factorielles en trop dans le DL de ln, je me suis un peu perdu dans mon Latex x)

Problème résolu, et merci à vous deux


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