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développement asymptotique

Posté par
totomath 24-11-07 à 12:01

bonjour,
voilà mon problème : " soit la suite (Un) définie par U1 > 0 et U_{n+1}= U_n +\frac{1}{n^aU_n} avec a>1.
1) montrer que (Un) converge
2) on note w limite de Un. Donner un développement asyptotique de Un - w. (au moins un équivalent) "

J'ai fait 1) en montrant que (Un) est croissante et majorée en écrivant : U_{n+1}= U_1 + \bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^aU_k} \leq U_1 + \frac{1}{U_1}\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^a} < \infty
car la série \bigsum\frac{1}{k^a} converge pour a > 1
Par contre je sèche sur 2). Quelqu'un aurait-il une idée ? Merci

Posté par
tizere : développement asymptotique 24-11-07 à 13:11

Bonjour,
un début de réponse:
V_n=\omega-U_n
-V_{N+1}+V_1=\sum\limits_{n=1}^{N}\(-V_{n+1}+V_n\)\longrightarrow V_1=\omega-U_1
Les termes sont positifs et il y a convergence des séries donc :
\omega-U_N=V_N=\sum\limits_{n=N}^{\infty}\(V_n-V_{n+1}\)=\sum\limits_{n=N}^{\infty}\(-U_n+U_{n+1}\)=\sum\limits_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n^aU_n}

Donc :
\sum\limits_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n^a(\omega+\varepsilon)}\leq\omega-U_N\leq\sum\limits_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n^a(\omega-\varepsilon)}
Reste à avoir un équivalent de \sum\limits_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n^a} ce qui n'est pas très difficile en comparant avec des intégrales...
Je trouve aux erreurs de calculs près :
\omega-U_N\sim\frac{N^{1-a}}{\omega(a-1)}

Posté par
totomathre : développement asymptotique 24-11-07 à 18:42

ok merci je vais regarder ca


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