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développement asymptotique d'une suite

Posté par
math71 03-02-19 à 17:53

Bonjour,
Voici déjà le début de mon énoncé:
on considère la suite (un) définie par u0 réel quelconque et pour tout n de , un+1=un+e-un
1) Montrer que (un) est croissante, quelle est sa limite quand n tend vers +?
Pas de pb pour montrer que la suite est croissante puisque pour tout n on a :
un+1-un=e-un qui est positif puisque la fonction exp est strictement positive sur .
Par contre je ne vois pas quelle est sa limite. Je n'arrive pas à montrer que la suite est bornée (ce qui me donnerait qu'elle converge), ni qu'elle ne l'est pas ou ni à la minorer par une suite connue qui tend vers l'infini.
La question suivante dépend de ce résultat, je la mettrai donc quand j'aurai pu finir cette première question.
Merci d'avance pour  toute aide ...

Posté par
verdurinre : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:07

Bonsoir,
tu peux supposer que la suite a une limite finie \ell.
Alors \ell=\ell+\text{e}^{-\ell}.

Et je te laisse continuer. . .

Posté par
carpediemre : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:10

salut

u_{n + 1} = u_n + e^{-u_n} = f(u_n)

si elle existe alors la limite vérifie la relation x = f(x) puisque f est continue ...

Posté par
carpediemre : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:12

ensuite :

1/ as-tu essayer sur une calculatrice pour différentes valeurs initiales ?

2/ ben si la question suivante nous intéresse évidemment !!!

et même donner l'énoncé exact et complet pour savoir où on va !!!

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:15

Je pense avoir trouvé. Si un des termes de la suite est positif, comme l'exponentielle d'un nombre positif est plus grande que 1, la différence entre 2 termes consécutifs est plus grande que 1 donc la suite va forcément tendre vers l'infini.
et si le premier terme est négatif, comme l'exponentielle de son opposé sera plus grande que 1, le suivant sera plus grand de plus de 1 unité et ainsi de suite donc forcément un des termes de la suite finira par être positif et d'après ce qui a été dit ci-dessus la suite tend vers l'infini.
2) Posons vn = exp(un) (je ne sais pas pourquoi, je n'arrive plus à utiliser l'éditeur d'équations...)
Montrer que vn+1-vn tend vers 1. En déduire un équivalent de vn, puis un équivalent de un quand n tend vers l'infini.
J'ai réussi à montrer que la différence tend vers 1 (avec un DL) mais je n'arrive pas à en déduire un équivalent de vn.

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:15

Je viens de voir vos réponses, je regarde'...

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:18

Effectivement c'était assez simple par l'absurde...
Je veux bien vous mettre l'énoncé en entier, j'espère que l'éditeur d'équation va marcher.
je m'y mets dans le message suivant.

Posté par
carpediemre : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:19

u_{n + 1} = u_0 + e^{- \sum_0^n u_k}

si u_n tend vers L alors u_{n + 1} tend vers u_0

or la suite est strictement croissante donc la suite n'a pas de limite

ce que montre la résolution de l'équation f(x) = x ...

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 18:25

J'ai déjà mis la 2° question précédemment.
3) On pose wn=vn-n. montrer que wn+1 - wn est équivalent à 1/(2n).
En déduire les 2 premiers termes du développement asymptotique de la suite (vn).
4) Déterminer les 2 premiers termes du développement asymptotique de la suite (un).
5) Recommencer pour obtenir les 3 premiers termes du développement asymptotique de la suite (un). (on admettra que la série sigma de ln(n)/n^2 converge.)
voilà l'énoncé complet.
Je ne comprends pas pourquoi je n'arrive plus à utiliser l'éditeur d'équations sous le rectangle du message. Chaque fois que j'essaie de sélectionner un des items, il ne se passe rien, alors que pour mon premier message, ça marchait. Quelqu'un voit-il ce qui pourrait coincer?

Posté par
carpediemre : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 19:16

(au moins à partir d'un certain rang) la suite est positive

la suite est strictement croissante et ne converge pas (vers une limite finie) donc elle diverge vers +oo

il en est de même donc de la suite (v_n) et la suite (exp(-u_n)) converge vers 0

v_{n + 1} - v_n = e^{u_n + e^{- u_n}} - e^{u_n} = e^{u_n} \left( e^{e^{-u_n}} - 1 \right) = e^{u_n} [1 + e^{-u_n} + e^{-u_n}o(e^{-u_n}) - 1] = 1 + o(1) \underset{ n\to + \infty} {\to} 1

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 22:06

Oui, ça c'est ce que j'avais fait, c'est pour en déduire un équivalent de vn que je bloque. et je ne peux toujours pas me servir des équations...

Posté par
luzakre : développement asymptotique d'une suite 03-02-19 à 23:33

Bonsoir !
1. La suite n\mapsto u_n est croissante (évident) et ne peut être convergente car f : x\mapsto x+e^{-x} est continue sans point fixe.
Conclusion : la suite a pour limite +\infty.

2. v_{n+1}-v_n=\exp(u_{n+1})-\exp(u_n)=\exp(u_n)\Bigl(\exp(u_{n+1}-u_n)-1\Bigr)=e^{u_n}\Bigl(\exp(e^{-u_n})-1\Bigr).
Puisque n\mapsto e^{-u_n} converge vers 0 on a l'équivalent \exp(e^{-u_n})-1\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}e^{-u_n} et il en résulte v_{n+1}-v_n\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}1.

Sachant que v_n=v_0+\sum_{0\leqslant k<n}(v_{k+1}-v_k) on aura (théorème sur les sommations de relation de comparaison) v_n\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}n.

Enfin, en écrivant v_n=n(1+\varepsilon_n) (la dernière suite étant de limite nulle) on a u_n=\ln(v_n)=\ln(n)+\ln(1+\varepsilon_n) ce qui permet d'avoir un équivalent de u_n.

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 10:10

Merci beaucoup Carpediem et Luzak pour l'aide déjà apportée, cela m'a beaucoup aidé. Je cherche maintenant la suite et reviens vers vous si je bloque sur les questions suivantes (que j'ai déjà notées). Encore merci!

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 10:48

Rebonjour,
J'ai écrit
wn+1-wn=eun+1-eun-1
= eun.[exp(e(-un))-1]-1
=eun[ e-un+e-2un/2+o(e-2un)]-1
=e-un/2 + o(e-un)
Comme je sais que un est équivalent à ln(n), je peux écrire un=ln(n)+o(ln(n)), mais cela me donne
(je ne peux de nouveau plus écrire les indices... je ne sais pas si c'est mon ordi ou le site...je poste le début du message et vois si ça marche dans un autre message..désolé)

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 10:53

Ca ne marche toujours pas or les écriture avec les suites sans les indices cela devient rapidement illisible...
j'explique donc avec des mots. J'obtiens une égalité qui commence bien par 1/(2n) mais qui est multiplié par exp(o(-ln(n)) (est-ce un o(1/n)?) cela ne me permet donc pas de conclure.
Où ai-je mal raisonné? merci d'avance.

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 11:26

Si j'admets avoir montré que wn+1-wnest équivalent à 1/(2n), je reprends le procédé précédent en écrivant:
wn=w1+sigma (de k=1 à n-1) (wk+1-wk),
comme wn+1-wnest équivalent à 1/(2n) et que (dek=1 à n-1)1/2k tend vers l'infini, alors
(wk+1-wk) est équivalent à 1/(2k) qui lui est équivalent à 1/(2n) (vu en classe) d'où
wn-w1est équivalent à 1/(2n)
càd wn=w1+1/(2n) + o(1/n)
Je reviens alors à vn
vn=n+w1+1/(2n)+o(1/n)
D'où petit pb par rapport à l'énoncé: j'ai 3 termes du DA alors que l'énoncé m'en demande 2...

Posté par
luzakre : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 11:59

Il serait plus simple d'écrire
e^{-u_n}=\dfrac1{v_n}\underset{ n\to+\infty }{\quad=\quad}\dfrac1{n+o(n)}\underset{ n\to+\infty }{\quad=\quad}\dfrac1{n(1+o(1))}\underset{ n\to+\infty }{\quad=\quad}\dfrac1n+o(1/n)
de sorte que w_{n+1}-w_n}-1\underset{ n\to+\infty }{\quad=\quad}\dfrac1{2n}+o(n^{-1})

........................
Il est toujours dangereux de remplacer u_n par un équivalent dans e^{-u_n} : cela ne donne pas toujours un équivalent de l'exponentielle.
En utilisant des égalités (avec les "petit o") on est sûr de ce qu'on écrit.

Heureusement tu as vu très vite l'impossibilité de continuer !

.........................
La relation e^{u_n}\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}n donne plus de précision que u_n\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}\ln(n).
Tu le vois très bien en écrivant u_n-\ln(n).

En partant de  u_n\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}\ln(n) tu obtiens u_n\underset{ n\to+\infty }{\quad=\quad}\ln(n)+o(\ln(n)).

En partant de e^{u_n}\underset{ n\to+\infty }{\quad\simeq\quad}n tu obtiens  u_n\underset{ n\to+\infty }{\quad=\quad}\ln(n)+o(1).

Bref il était préférable de n'utiliser que v_n sans revenir à une expression en fonction de u_n.

.........................
Pour la 5) l'énoncé ne dit pas explicitement que tu dois noter \sigma la somme de la série convergente proposée : tu devras écrire ton développement asymptotique en utilisant \sigma sans pouvoir le calculer explicitement.

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 17:24

Encore une fois merci!
C'est vrai que j'ai pas pensé à partir de vn qui donnait directement eun...
Mais la fin de mon 3) est-elle juste? Car je trouve 3 termes alors que l'énoncé en demande 2...
Parce que si c'est juste j'ai ensuite
un=lnvn=ln(n+w1+1/2n+o(1/n))
d'où un=lnn+ln(1+w1/n+1/2n2+o(1/n2))
et donc un=lnn+w1/n+(1-w12)/2n2+o(1/n2), et là j'ai bien 3 termes comme le demande l'énoncé.
5) Dois-je partir cette fois d'une suite dont le terme général est
tn=wn-w1-1/2n?

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 04-02-19 à 17:25

Rectificatif: l'énoncé ne demande que 2 termes au 4) donc comme pour vn, j'en ai un de trop...

Posté par
luzakre : développement asymptotique d'une suite 05-02-19 à 00:08

Non !

Citation :
est équivalent à 1/(2k) qui lui est équivalent à 1/(2n) (vu en classe)

Il me semble que tu as mal recopié ce que tu as vu en classe : comment veux-tu qu'une somme de  n termes 1/k soit équivalente à 1/n. Tu n'as jamais entendu parler de la limite de \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\dfrac1k-\ln(n) ?

Si w_{n+1}-w_n est équivalent à \dfrac1{2n} (comme le demande l'énoncé) alors w_n aura un équivalent en \dfrac{\ln(n)}{2} .
Il est d'ailleurs évident  que ce n'est pas une suite de limite finie.
Tu auras donc un développement asymptotique à deux termes pour u_n

Tu devrais trouver
v_n\underset{n \to+\infty }{\quad=\quad}n+\dfrac{\ln(n)}2+o(\ln(n)) et en déduire u_n\underset{n \to+\infty }{\quad=\quad}\ln(n)+\dfrac{\ln(n)}{2n}+o\Bigl(\dfrac{\ln n}n\Bigr).
...............................................................
Et (comme suggéré) il faut recommencer en posant z_n=v_n-n-\dfrac{\ln(n)}2.
Alors z_{n+1}-z_n aura un équivalent en \dfrac{-\ln n}{4n^2} (sous réserve d'une erreur de calcul)  et tu dois prendre un "cinéma" légèrement différent car la série est convergente.

En posant a=z_1+\sum_{n\geqslant1}(z_{n+1}-z_n) (tu ne pourras pas calculer ce réel il me semble)
tu devrais avoir v_n\underset{n \to+\infty }{\quad=\quad}n+\dfrac{\ln n}2+a+o(1) et u_n\underset{n \to+\infty }{\quad=\quad}\ln(n)+\dfrac{\ln(n)}{2n}+\dfrac an+o\Bigl(\dfrac{1}n\Bigr)

Posté par
math71re : développement asymptotique d'une suite 05-02-19 à 18:11

Merci beaucoup pour votre aide et les corrections!


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