Niveau IUT/DUT

Développement d'une intégrale impropre

Posté par
oignonaufour 15-12-23 à 15:54

Bonjour,

J'essaie de calculer les premiers termes de la série de Taylor de l'intégrale impropre suivante

$\int_\delta ^{1-\delta} dx \frac{x (1-x)}{\sqrt{x^2-\delta^2}\sqrt{(1-x)^2-\delta^2}}$ lorsque $\delta$ est proche de 0 et à l'ordre 2 en $\delta$ .
Après étude numérique je pense que la réponse est $1-\delta^2$ mais je ne sais pas comment le prouver. J'ai essayé naïvement de développer l'intégrande jusqu'à l'ordre 2 pour ensuite intégrer mais je trouve plutôt $1-\delta$ au lieu de $1-\delta^2$ .
Si vous avez une méthode je suis preneur.

Posté par re : Développement d'une intégrale impropre 15-12-23 à 18:48

L'intégrand est minimal pour x = 1/2 (tu peux dériver la fonction pour t'en convaincre, par exemple).
Donc toute l'intégrale est minorée par $\int_\delta^{1-\delta} \dfrac{dx}{1-(2\delta)^2} = \dfrac{1}{1+2\delta} = 1 - 2\delta + 4\delta^2 + o(\delta^2)$ .

Pour la majoration, ton intégrale est un produit de convolution de $f: x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2-\delta^2}} = \left(1-\left(\dfrac{\delta}{x}\right)^2\right)^{-1/2}$ par elle-même, en 1, donc il doit être possible d'appliquer l'inégalité de Hölder avec les bons p,q, et r.

Ca peut peut-être t'aider d'écrire ton intégrale sous cette forme : $2\int_0^{1/2-\delta} f(1/2+x)f(1/2-x)dx$

Posté par re : Développement d'une intégrale impropre 15-12-23 à 23:47

Oui j'avais remarqué cette symétrie, mais même en écrivant l'intégrale de cette façon je ne sais pas comment continuer.

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