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Developpement de Taylor

Posté par
inespaiva 16-12-22 à 10:59

Bonjour j'ai cet exercice à faire, pourtant je ne suis pas sûre comment est-ce qu'il le faut faire, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider? Ou me donner des indices même?

Pour tout a,b qui appartient à R, considérons la fonction suivante au voisinage de 0 :
f(x) = e^x + a•sin(x)+b•cos(x)
Déterminez le maximum c qui appartient à N tel qu'il existe a,b tel que f(x) soit o(x^c)

Posté par
carpediemre : Developpement de Taylor 16-12-22 à 11:30

salut

vu que les fonctions cos et sin sont bornées il est aisé de borner f par des fonctions g et h telles que g(x) = e^x + m \le f(x) \le e^x + n = h(x)

or l'exponentielle n'est pas un o(x^c) pour n'importe quel c en +oo
et en -oo ce ne sera pas non plus possible à cause des fonction trigo qui sont périodiques

peux-tu nous donner l'énoncé exact

Posté par
inespaivare : Developpement de Taylor 16-12-22 à 12:08

C'est l'énoncé que j'ai

Posté par
perroquetre : Developpement de Taylor 16-12-22 à 12:29

Bonjour.

@carpediem:
Comme l'énoncé l'indique, c'est au voisinage de 0 que l'on se place.

Posté par
carpediemre : Developpement de Taylor 16-12-22 à 12:30

de toute façon ton énoncé ne va pas :

inespaiva @ 16-12-2022 à 10:59

Pour tout a, b qui appartient à R, considérons la fonction suivante au voisinage de 0 :
f(x) = e^x + a•sin(x)+b•cos(x)  a et b apparaissent ici et sont définies/posés/donnés avant
Déterminez le maximum c qui appartient à N tel qu'il existe a, b tel que f(x) soit o(x^c) et on doit en retrouver ... d'autres ?
étonnant ...

la question devrait être   déterminer les réels a et b tels qu'il existe un entier c tel que f(x) = o(x^c) au voisinage de 0    ce me semble-t-il ...


bon maintenant on travaille au voisinage de 0 et on veut que f(x) = o(x^c)

vu qu'au voisinage de 0 :

e^x \approx 1 + x + o(x) \\ \cos x \approx 1 - x^2/2 + o(x^2)   $ donc $   a \cos x \approx \\ \sin x = x - x^3/3 + o(x^3)   $ donc $   b \sin x \approx

à toi de voir s'il faut aller plus loin dans le dl ...

Posté par
GBZMre : Developpement de Taylor 16-12-22 à 13:41

Bonjour,
Carpediem, il vaudrait mieux ne pas se tromper dans le d.l. de \sin(x) !

Posté par
carpediemre : Developpement de Taylor 16-12-22 à 14:01

oui désolé ... une erreur de facteur

merci


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