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Developpement decimal

Posté par
Michelle 26-05-15 à 18:22

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide pour calculer le développement décimal du nombre rationnel \sqrt{10}
Est ce qu'il y a un moyen pour déterminer n'importe quel chiffre après la virgule de ce nombre ?
Merci d'avance !

Posté par
gggg1234re : Developpement decimal 26-05-15 à 18:34

trouve une suite qui tends vers ton chiffre

Posté par
Michellere : Developpement decimal 26-05-15 à 18:54

Bonjour,
Je vais essayer de la  construire  mais supposons qu'il existe une suite Un qui tend vers \sqrt10, comment déterminer n'importe quel chiffre après la virgule de ce nombre ?
Merci encore !

Posté par
LeDinore : Developpement decimal 26-05-15 à 19:01

Pour cela il faut savoir à quelle vitesse ta suite tend vers sa cible.
Ainsi si tu sais que la convergence est par exemple en n au carré, alors il te faudra environ 1000 itérations pour avoir une erreur inférieure au millionième...

Posté par
LeDinore : Developpement decimal 26-05-15 à 19:25

Ou sinon, si ta suite alterne majoration et minoration de la limite, c'est très pratique, car ainsi tu disposes à chaque itération d'un encadrement, et donc tu sais exactement quels chiffres sont significatifs.

Par exemple, avec l'algorithme par dichotomie qui n'est pas très rapide mais qui est très simple, il faut 4 ou 5 itérations pour trouver le premier chiffre.
Puis en moyenne toutes les 3.32 itérations (log 10 en base 2) on gagne un nouveau chiffre...
Et donc toutes les 10 itérations, on gagne environ 3 chiffres.

Posté par
lafol Moderateurre : Developpement decimal 26-05-15 à 19:46

Bonjour
je crois que son problème n'est pas d'obtenir tant de chiffres, mais de connaitre le n-ième chiffre

pour celà, il y a un algorithme, qu'on apprenait autrefois au collège (là, c'est moi, le dino ....) qui se présente un peu comme une division et qui repose sur les identités remarquables.

Posté par
lafol Moderateurre : Developpement decimal 26-05-15 à 19:49

regarde ici, c'est pas mal expliqué :

Posté par
LeDinore : Developpement decimal 26-05-15 à 19:52

Bonsoir lafol,

Dans ta méthode du jurassique... il ne faut pas calculer les décimales de proche en proche ?
On n'obtient pas directement le n-ième chiffre, c'est bien ça ?

Si c'est bien ça, alors à la limite il n'y a pas une si grande différence entre les deux approches, non ?
Même si je vois bien ce que tu veux dire... on appelait ça "extraire une racine à la main". c'est comme planter les choux, mais à l'envers ...  

Posté par
lafol Moderateurre : Developpement decimal 26-05-15 à 19:53

on ne l'obtient pas directement, mais en écrivant l'algorithme, on peut construire la suite (d_n) où d_n est la n-ième décimale

Posté par
LeDinore : Developpement decimal 26-05-15 à 19:58

Oui je posais la question... mais c'était pour te le faire confirmer.

Posté par
lafol Moderateurre : Developpement decimal 26-05-15 à 19:59

tu veux dire que tu es moins dinosaure que moi, malgré ton pseudo, et que tu n'as pas appris à faire ça quand tu étais petiot ?

Posté par
carpediemre : Developpement decimal 26-05-15 à 20:02

salut

une autre méthode est le classique u_{n + 1} = \dfrac 1 2 (u_n + \dfrac {10}{u_n}) qui converge très vite ... et permet d'avoir les décimales ... à condition d'avoir des mémoires ... infinies

évidemment seule la méthode manuelle permet d'aller jusqu'au bout ....

Posté par
LeDinore : Developpement decimal 26-05-15 à 20:03

Non je n'ai pas appris ce n'était plus au programme.
Quand j'ai demandé comment on faisait à mon prof de Terminale (parce que "extraire une racine carrée était quand même dans le langage de l'époque : "c'est pas à lui qu'il faut demander d'extraire une racine carrée" par exemple ...), il était tout content de m'expliquer...

... sur le moment j'ai compris.
Mais la semaine d'après j'avais tout oublié.

Posté par
LeDinore : Developpement decimal 26-05-15 à 20:05

carpediem, est-ce que la méthode que tu cites donne un encadrement (en oscillant autour de la limite par exemple) ? Et sinon, connait-on sa convergence ? Je suppose que oui...

Posté par
carpediemre : Developpement decimal 26-05-15 à 20:12

si tu veux réviser ::

et

Posté par
carpediemre : Developpement decimal 26-05-15 à 20:13

c'est la méthode de Héron (ou babylonnienne) ::

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 05-06-15 à 19:10

Bonjour,
La question de michelle m'intéresse
@ Dino , que veux tu dire par la convergence d'une suite en n au carré ?
J'ai regardé un peu les cours que vous avez partagé , je comprends comment déterminer quelques chiffres mais je n'arrive toujours pas à comprendre comment déterminer le n eme chiffre après la virgule.
Est ce que la suite U_n  définie par carpidiem a la même n ème decimale que \sqrt{10} ?
Merci d'avance !

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 05-06-15 à 19:51

sinon extremement rapide mais pas toujours vrai (mais pour ici ça va )

suite (un) en posant u0 à une decimale près

alors ui à 1+\frac {n^2+n}{2} décimales près

pose u0=3.1

\frac {10-3.1^2}{3.2^2-3.1^2}=0.619... prend la premiere decimale de ce rapport

\frac {10-3.16^2}{3.17^2-3.16^2}=0.227... prend les deux premieres decimales de ce rapport

\frac {10-3.1622^2}{3.1623^2-3.1622^2}=0.776598... prend les trois  premieres decimales de ce rapport

\frac {10-3.1622776^2}{3.1622777^2-3.1622776^2}=0.6016840... prend les quatre premieres decimales de ce rapport

et ainsi de suite \sqrt {10}=3.16227766016...

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 06-06-15 à 16:02

Désolé mais je ne vois pas d'ou vient ce rapport qui nous donnent les decimales ?
C'est peut être simple  mais je suis un peu perdu

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 06-06-15 à 16:06

non c'est pas sisimple (enfin pour moi)

la demo là c'est hard mais l'auteur du topic la demande pas et bon on verra ça quand j'aurai plus de temps camarade

Posté par
luzakre : Developpement decimal 06-06-15 à 16:24

Bonsoir !
La méthode de Héron donne une suite monotone (à partir de n=2) : impossible de connaître simplement la validité des chiffres trouvés. Mais la convergence est quadratique : doublement des "bons chiffres" quand on est près de la racine.


L'algorithme "antédiluvien" que vous cherchez est ce qui suit : désolé de le présenter comme un exo de plus mais la solution est donnée.

Soit \beta un entier supérieur à 2 et (\alpha_n)_{n\in\N} une suite d'entiers positifs strictement inférieurs à \beta.
On définit les suites (\rho_n)_{n\in\N},\;(\delta_n)_{n\in\N} par l'algorithme suivant :
1. \rho_0=\delta_0=0.
2. Connaissant \rho_n et \delta_n, soit u le plus grand entier vérifiant (2\beta\rho_n+u)u\leqslant\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}.
  On définit alors \rho_{n+1}=\beta\rho_n+u,\;\;\delta_{n+1}=\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}-(2\beta\rho_n+u)u.
En utilisant a_n=\sum_{0\leqslant p<2n}\alpha_p\beta^{2n-p-1} que peut-on dire des suites (\rho_n)_{n\in\N},\;(\delta_n)_{n\in\N}?
Montrer que l'entier u utilisé dans l'algorithme est strictement inférieur à \beta. Conclusion ?

Solution.
Montrons, par récurrence sur n, que \rho_n est la partie entière de \sqrt{a_n} et \delta_n=a_n-\rho_n^2.

C'est vrai pour n=0 puisque a_0=\rho_0=\delta_0. Supposons \rho_n^2 \leqslant a_n<(\rho_n+1)^2 et \delta_n=a_n-\rho_n^2.
Puisque (2\beta\rho_n+u)u\leqslant\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}<(2\beta\rho_n+u+1)(u+1) il vient
\begin{array}{rll} \\ \rho_{n+1}^2&=(\beta\rho_n+u)^2=\beta^2\rho_n^2+(2\beta\rho_n+u)u \\ &\leqslant\beta^2\rho_n^2+\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1} &<\beta^2\rho_n^2+(2\beta\rho_n+u+1)(u+1)=(\rho_{n+1}+1)^2 \\ &\leqslant a_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}&<(\rho_{n+1}+1)^2 \\ &\leqslant a_{n+1}&<(\rho_{n+1}+1)^2 \\ \end{array}

Par ailleurs,
\begin{array}{rl} \\ \delta_{n+1}&=\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}-(2\beta\rho_n+u)u \\  &=(a_n-\rho_n^2)\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}-(2\beta\rho_n+u)u \\  &=a_{n+1}-(\beta^2\rho_n^2+(2\beta\rho_n+u)u) \\  &=a_{n+1}-\rho_{n+1}^2. \\ \end{array}

Soit \varphi la fonction z\in\R_+\mapsto z(2\beta\rho_n+z).
On a a_n-\rho_n^2<(\rho_n+1)^2-\rho_n^2=2\rho_n+1 soit \delta_n=a_n-\rho_n^2\leqslant2\rho_n.
Comme \beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}\leqslant\beta(\beta-1)+\beta-1=\beta^2-1 on a \beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}<\beta^2 et il en résulte \delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}<2\rho_n\beta^2+\beta^2=\varphi(\beta).
On a donc bien u<\beta puisque \varphi(u)<\varphi(\beta) et \varphi strictement croissante.

Ainsi, si \beta est une base de numération, l'algorithme fournit les chiffres, en base \beta, de la partie entière de \sqrt{a_n}.

Remarques.
1. L'entier A(=a_n) est défini sur cette base par un nombre pair de chiffres : il faut donc prendre \alpha_0=0 (c'est inhabituel) dans certains cas.
2. En faisant n itérations on obtient n chiffres de la racine carrée. Pour obtenir le chiffre de rang n APRÈS la virgule il faut donc faire k+n itérations (k s'obtient en divisant par 2 le nombre (augmenté de 1) de chiffres de la partie entière de A).
3. Le nombre u à essayer au rang n est plus proche du quotient de \delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1} par 2\beta\rho_n que des valeurs extrêmes 0,\;\beta-1.

Posté par
luzakre : Developpement decimal 06-06-15 à 17:43

Petite correction concernant la méthode de Héron.
La suite définie par u_{n+1}=\dfrac12(u_n+\dfrac{A}{u_n}) est bien décroissante (pour n>0) et les u_n,\;(n>0) sont donc des valeurs par excès de \sqrt{A}. Mais comme on doit calculer \dfrac{A}{u_n} on dispose pour chaque indice d'une valeur par défaut, donc un encadrement.

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 07-06-15 à 05:46

Merci Super Camarade Lusak

je suis justement en train de voir ça , alors ça tombe bien!
j'ai une démo à faire et si je termine* je verrai si je peux apporter une méthode différente à la tienne

en tout cas merci car de toute façon : si j'arrive pas à faire cette demo eh bien il me restera la tienne

alors peut être que ce topic n'est pas terminé ...(?)

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 07-06-15 à 20:19

Bonjour,
Lusak, je suis entrain de lire ta démonstration, merci infiniment
amethyste j'attends la tienne

Posté par
Michellere : Developpement decimal 07-06-15 à 20:32

Bonsoir et merci de vos réponses
amethyste, que veux  tu dire  par u_0 à une décimale prés ?
Merci encore

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 07-06-15 à 20:39

bah là j'ai pris racine carré de dix à une décimale près donc j'ai pris u0=3.1

en fait c'est la méthode de Luzak de Carpediem de Lafol de Héron et surtout surtout de CYRUS LE GRAND ...

c'est surtout à CYRUS LE GRAND à dire merci surtout (et lui ses droits d'auteur il y tiens -bah en fait pas comme Staline pour ses inventions en maths quoi ... lui par contre non et d'ailleurs personne ne mentionne jamais son nom dans un article de maths -à part moi)  

  

Posté par
Michellere : Developpement decimal 08-06-15 à 14:53

Bonjour,
Merci à tous
amethyste, ta formule qui définit les décimales, tu as une idée d'ou ça vient ?
Si non puis je comprendre que ces méthodes pour définir le développement décimal ne  marche que pour la racine carré d'un nombre ? ca ne marche pas avec des irrationnels quelconques ?  \pi par exemple ?
Merci encore une fois  pour tous ceux qui ont participé dans ce topic !

Posté par
carpediemre : Developpement decimal 08-06-15 à 19:21

10 est connu ... c'est 10 ...

l'est beaucoup moins ....

pour pouvoir calculer sa racine il faut déjà le connaître ....

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 08-06-15 à 19:27

Bonsoir
luzak, est ce que tu as une référence pour cet algorithme "antédiluvien" ?
Merci encore !

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 08-06-15 à 19:29

le truc là racine carrée de 10 là ?

ça viens de Gauss (j'ai oublié de le mentionner )

...ceci dit je sait pas ce qu'il deviens le camarade

ceci dit merci Carpédiem  oui bon pour \pi  il est transcendant mais ceci dit dit il existe une suite tres rapide qui le construit (et ça aussi c'est de Gauss)

en fait aussi rapide que la suite donnée là pour racine carrée de dix même si Pi est transcendant

la suite à été mise au point dans les années 70 aux U.S.A.

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 08-06-15 à 20:01

Citation :
Michelle a dit  amethyste, ta formule qui définit ...  


oh là !!! j'ai pas vu ton post  oh là! c'est la même que Luzak !

ma formule ??? lolll

je suis Stalinien camarade et en plus c'est pas la mienne (c'est la même que Luzak ....lolll

qui viens de Gauss au final , alors lolllll

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 08-06-15 à 20:14

...j'ai même failli avaler ma cigarette allummée quand j'ai vu ça

...elle se rend pas compte la camarade !

si tu savait à quel point il me fout la frousse Gauss ....(voire Luzak)

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 08-06-15 à 20:34

Merci amethyste,
j'aimerai bien avoir des références ou des liens pour ces deux méthodes.
En fait pour la remarque de luzak , il y a une partie que je n'ai pas bien compris, Luzak a dit :
Pour obtenir le chiffre de rang n APRÈS la virgule il faut donc faire k+n itérations (k s'obtient en divisant par 2 le nombre (augmenté de 1) de chiffres de la partie entière de A).
Je ne comprends pas pourquoi il faut faire k+n itérations et je ne comprends pas non plus comment obtenir le k.

Posté par Profil amethystere : Developpement decimal 08-06-15 à 20:49

Bonsoir

Citation :
Merci amethyste,
j'aimerai bien avoir des références ou des liens pour ces deux méthodes.
En fait pour la remarque de luzak , ...


...de rien Dominique23 et vraiment de rien !

je comprend pas ce merci lolll -ah non mais quand je dit  : j'ai peur je rigole pas c'est sérieux!

mais c'est la même méthode que Luzak

bon je peux pas parler à sa place ...

...tu sais je bosse dessus en ce moment camarade ... j'en suis au même point que toi ...

j'en sais pas plus que toi camarade ... en tout cas là à 20:45 aujourdhuit j'en sais pas plus que toi

Posté par
luzakre : Developpement decimal 09-06-15 à 09:14

Bonjour !
A dominique23 :
Ma remarque : j'ai essayé de faire la différence entre nème chiffre du nombre et nème chiffre après la virgule car nème décimale me paraissait ambigüe (dans 231,45690 : 9 est le 7ème chiffre et le 4ème APRÈS la virgule).
Faire n itérations de l'algorithme donne le nème chiffre de la racine. Si on veut le nème  chiffre après la virgule il faut quelques itérations de plus (il faut mettre à part la partie entière. Si A a p chiffres dans sa partie entière, le nombre de chiffres de la partie entière de \sqrt{A} est le quotient entier de p+1 par 2)

Pour l'origine : comme beaucoup l'ont dit, on savait faire ces calculs avant le collège à une certaine époque. J'ai eu l'occasion, pour un jeune de terminale, d'en faire un énoncé (d'où son allure un peu sibylline) mais on trouve à peu près le même sur différents sites.
  

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 09-06-15 à 18:08

Bonjour,
Luzak merci infiniment!
Donc pour appliquer cette méthode à \sqrt10, si on l'écrit dans la base 10, le n eme chiffre après la virgule sera \rho_{n+1}=10\rho_n+u ?
C'est toujours pas facile pour moi le choix u est ce qu'il est indépendant de \rho_n, comment le définir dans notre cas ?
Merci encore !

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 09-06-15 à 18:21

Pardon je voulais dire que le nombre d'itérations pour avoir le n eme chiffre après la virgule dans ce cas  sera n+1 ?

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 09-06-15 à 18:37

Peut être il vaut mieux remplacer \sqrt10 par \sqrt130 pour avoir un nombre pair de chiffres dans la base 10 ?
J'ai besoin d'appliquer cette méthode pour mieux comprendre

Posté par
luzakre : Developpement decimal 10-06-15 à 08:05

Bonjour !
Surtout pas 130 ! "10" s'écrit avec deux chiffres donc tu prends \alpha_0=1,\;\alpha_1=0 et tu fais n+1 itérations pour avoir le nème chiffre après la virgule. Si tu veux traiter 130 il faut écrire "0130" donc \alpha_0=0,\;\alpha_1=1,\;\alpha_2=3,\;\alpha_3=0 et pour le même résultat il faudra n+2 itérations.

Pour calculer u (qui change à chaque itération et dépend de \rho_n,\;\delta_n) tu peux commencer par u=\beta-1=9 et TANT QUE (2\beta\rho_n+u)u>\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1} tu remplaces u par u-1.

Posté par
Dominique23re : Developpement decimal 10-06-15 à 13:57

Merci infiniment Luzak !

Posté par
Michellere : Developpement decimal 11-06-15 à 21:12

Bonjour
En recommençant l'exo de luzak je bloque sur cette partie :
\begin{array}{rll} \\ \\  \rho_{n+1}^2&=(\beta\rho_n+u)^2=\beta^2\rho_n^2+(2\beta\rho_n+u)u \\ &\leqslant\beta^2\rho_n^2+\delta_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1} &<\beta^2\rho_n^2+(2\beta\rho_n+u+1)(u+1)=(\rho_{n+1}+1)^2 \\ &\leqslant a_n\beta^2+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}&<(\rho_{n+1}+1)^2 \\ &\leqslant a_{n+1}&<(\rho_{n+1}+1)^2 \\ \\ \end{array}
Pour majorer \rho_{n+1}^2 par a_{n+1} il y a le terme \delta_n\beta^2 qui est parti ?
Merci pour ta patience Luzak !

Posté par
luzakre : Developpement decimal 12-06-15 à 08:07

Bonjour !
Ben non :  On a a_{n+1}=\sum_{0\leqslant k<2n+2}\alpha_k\beta^{2(n+1)-k-1}=\beta^2\sum_{0\leqslant k<2n}\alpha_k\beta^{2(n)-k-1}+\alpha_{2n}\beta^1+\alpha_{2n+1}=a_n+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}

Le \delta_n\beta^2 qui te manque est dans a_n\beta^2=\beta^2(\delta_n+\rho_n^2)

Posté par
luzakre : Developpement decimal 12-06-15 à 08:09

Ah zut, désolé, la fin de la première ligne est \beta^2a_n+\beta\alpha_{2n}+\alpha_{2n+1}

Posté par
Michellere : Developpement decimal 12-06-15 à 20:00

Bonjour
C'est clair Luzak merci infiniment !!

Posté par
malou Webmasterre : Developpement decimal 20-03-16 à 10:44

Citation :
La question de michelle m'intéresse

Michelle=Dominique23=multicompte=banni....


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