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développement en série
Bonjour,
voila ma question je dois développez en série de MacLaurin la fonction
f d'équation
f(x)=ln(1-2x) et déterminer l'intervalle de convergence voici ma démarche
(en espérant que je ne me suis pas trompée)
f(x)=ln(1-2x)=f(0)=0
f'(x)=-2/(1-2x) = f(0)=-2
f''(x)=-4/(1-2x)^2 = f(0)=-4
f'''(x)=-16/(1-2x)^3 = f(0)=-16
f''''(x)=-96/(1-2x)^4 = f(0)=-96
f'''''(x)=-768/(1-2x)^5= f(0)=-768
dans la formule
0 - 2x - ((4x^2)/2!)-((16x^3)/3!)!)-((96x^4)/4!)!)-((768x^5)/5!)...
ln(1-2x)=-2x -(2x^2)-((8x^3)/3) - (4x^4) - ((32x^5)/5)
ensuite je ne sais plus comment procéder pour trouver l'intervalle?
2e question comment évaluez numériquement ln 1,25 à l'aide de ce
développement en série?
Merci de votre aide
On peut essayer de trouver le rapport entre la dérivée n ème (notée
f(n)(0)) et la dérivée (n+1)ème (notée f(n+1)(0)).
On trouve aisément par un rien de réflexion que:
[f(n+1)(0)]/[f(n)(0)] = 2n
Le rapport entre 2 termes successifs de la série est alors:
x.[(f(n+1)(0))/(n+1)!]/[(f(n)(0))/n!]
= x.[f(n+1)(0)]/[f(n)(0)].(n!/(n+1)!)
= 2nx/(n+1)
Pour que la série converge, on doit avoir ce rapport pour n-> oo qui est
< 1 (Règle de d'Alembert).
Il faut avec ce critère que tous les termes de la série ait le même
signe -> que x >=0 (1)
->
lim(n->oo)[2nx/(n+1)] < 1
Or lim(n->oo)[2n/(n+1)] = 2
->
2x < 1
x < 1/2 (2)
(1) et (2) -> 0 <= x < 1/2 convient. (3)
Si x < 0 (4) , la série est alternée.
On doit évaluer sa convergence autrement.
Il suffit ici que le rapport des modules de 2 termes consécutifs |x.[(f(n+1)(0))/(n+1)!]|/|[(f(n)(0))/n!]|
soit < 1 pour n -> oo.
->
-2x < 1
x > -1/2 (5)
(4) et (5) -> -1/2 < x < 0 convient. (6)
Finalement, avec (3) et (6), on a:
x dans ]-1/2 ; 1/2[ convient.
-----------
Pour ln(1,25)
1,25 = 1-2x
0,25 = -2x
x = -0,125
qui est bien compris dans ]-1/2 ; 1/2[ -> OK.
ln(1,25) = -2.(-0,125) - (2.(-0,125)^2)-((8(-0,125)^3)/3) - (4(-0,125)^4)
- ((32(-0,125)^5)/5) - . . .
ln(1,25) = 0,25 - 0,03125 + 0,005208333 - 0,0009765625 + 0,0009765625 - ...
ln(1,25) = 0,223958333 à moins de 0,0009765625 près.
L'erreur est ici inférieure ou égale en valeur absolue au premier terme négligé
puisque la série est alternée convergente.
A la calculette on a: ln(1,25) = 0,223143551314...
l'erreur est donc de 0,223958333 - 0,223143551314 = 0,00081478...
------------
Refais les calculs.
Remarque:
Si tu avais posé dès le début y = 2x, le développement aurait été beaucoup
plus facile.
A+
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