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Développement en série de Fourier

Posté par
francis_aix 04-02-06 à 10:05

Bonjour,

Soit la fonction f 2\pi-périodique définie par:

\left\{ \begin{array}{l} f(0)=0 \\ f(x)=\frac{\pi-x}{2},\forall x\in]0;2\pi[ \end{array}\right.

On me demande de donner le développement en série de Fourier de la fonction f.

Est-ce que je pourrais avoir les formules à appliquer ainsi que la marche à suivre ? Un modèle de rédaction m'enchanterait

Francis

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement en série de Fourier 04-02-06 à 11:33

Bonjour francis_aix

f est-elle supposée paire ou impaire ou alors ni l'un, ni l'autre ?

Kaiser

Posté par
francis_aixre : Développement en série de Fourier 04-02-06 à 13:12

Ben elle est 2pi peériodique c tout

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement en série de Fourier 04-02-06 à 14:32

En fait, après mûre reflexion, je me rend compte que f est bel et bien impaire.

f est clairement C1 par morceaux et régulière.
En effet, \frac{f(0^{+})+f(0^{-})}{2}=\frac{f(2\pi^{-})+f(0^{-})}{2}=\frac{-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}}{2}=0=f(0).
Soient a_{n}=\frac{1}{\pi}\bigint_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(nt)dt et b_{n}=\frac{1}{\pi}\bigint_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(nt)dt

Or f est impaire, donc pour tout n, a_{n}=0 et donc pour tout x réel, on a f(x)=\bigsum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(nx).

Il suffit de calculer b_{n} en remarquant que b_{n}=\frac{2}{\pi}\bigint_{0}^{\pi}f(t)cos(nt)dt=\frac{2}{\pi}\bigint_{0}^{\pi}\frac{\pi -t}{2}cos(nt)dt

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement en série de Fourier 04-02-06 à 14:35

désolé : dans les dernières intégrales, tout le monde aura compris que c'est sin(nt) à la place de cos(nt) !

Posté par
francis_aixmerci 05-02-06 à 09:43

Merci je vais voir ce que je peux faire avec ca, je devrais m'en sortir !
Francis


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