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developpement en série entière

Posté par
audreys18 03-11-07 à 13:17

bonjour,
Pouvez vous m'aider à trouver les développement en série entière au voisinage de zéro des fonctions suivantes et en déduire leur rayon de convergence.

1)f(x)=\frac{1}{1+2x}

\frac{1}{1+2x}=\sum_{i=1}^\infty (-2)^n*x^n
limn-> |an/an+1|= limn-> |-1/2|=1/2
donc le rayon de convergence est égale à 1/2.

2)f(x)=\frac{1}{(x-3)(x-1)}
après décomposition en éléments simples:
f(x)=\frac{-1}{6(1/-x/3)}+\frac{1}{2(1-x)}=-1/6*\sum_{i=1}^\infty(1/3)^n*x^n+1/2\sum_{i=1}^\infty x^n

le rayon de convergence de -1/6*\sum_{i=1}^\infty(1/3)^n*x^n est égale à 1 et celui de \sum_{i=1}^\infty x^n aussi donc le rayon de convergence de la série f(x) est supérieur ou égale à 1.
Je ne sais pas comment calculer de manière exacte ce rayon de convergence. Pouvez-vous m'aider?

3)f(x)=\frac{1}{x^4-13x^2+36}
or x^4-13x^2+36=(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)
après décomposition en éléments simples
f(x) =\frac{-1}{18(1-x/3)}+\frac{1}{8(1-x/2)}+\frac{1}{8(1+x/2)}+\frac{-1}{18(1+x/3)}
=-1/18\sum_{i=1}^\infty1/3^n*x^n+1/8\sum_{i=1}^\infty1/2^n*x^n+1/8\sum_{i=1}^\infty1/(-2)^n*x^n-1/18\sum_{i=1}^\infty1/(-3)^n*x^n
le rayon de convergence de \sum_{i=1}^\infty1/(-3)^n*x^n est 1/3
le rayon de convergence de \sum_{i=1}^\infty1/(-2)^n*x^n est 1/2
le rayon de convergence de \sum_{i=1}^\infty1/(2)^n*x^n est 1/2
le rayon de convergence de \sum_{i=1}^\infty1/(3)^n*x^n est 1/3

j'ai le même problème que pour le 2) je peux conclure que le rayon de convergence est supérieur à 1/3.
Merci pour vos réponses

Posté par
ottore : developpement en série entière 03-11-07 à 13:26

Bonjour,
on te demande le dévellopement en série entière de chacune de tes fonctions, le mieux est donc de le calculer
Ici tu ne l'as pas vraiment calculé quand tu regardes bien ce que tu as fait.

D'une façon générale, le rayon de convergence est la distance qui sépare 0 (ou le point en lequel tu exprimes ta série) de la singularité la plus proche.
Ca permet de te donner de gros indices si tu n'as pas d'idée de direction dans laquelle chercher ton rayon de convergence.

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 03-11-07 à 18:12

bonjour,
en effet je ne sais pas ce qu'il faut faire pour avoir une fonction développée en série entière. D'après mon cours il faut écrire la fonction sous forme:
\sum_{i=0}^\infty a_n*x^n.
dans les exemples j'ai développé les fonctions sous forme de somme mais en effet je n'arrive pas à une forme du type:\sum_{i=0}^\infty a_n*x^n.
Que dois-je faire?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 10:51

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?

Posté par
raymond Correcteurre : developpement en série entière 04-11-07 à 11:15

Bonjour audreys 18 et otto.

Pour le second développement :

3$\textrm f(x) = \fra{1}{(x-3)(x-1)} = \fra{1}{2} \fra{1}{1-x} - \fra{1}{6} \fra{1}{1-\fra{x}{3}}

La première fraction est développable si |x| < 1, la seconde si |x| < 3.

Pour trouver un domaine commun de convergence, il faut donc supposer |x| < 1.

Cela étant, on a alors :

3$\textrm f(x) = \fra{1}{2}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}x^n - \fra{1}{6}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}(\fra{x}{3})^n = \fra{1}{2}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}(1-\fra{1}{3^{n+1}})x^n

Tu as ainsi un développement habituel.

A plus RR.

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 13:26

bonjour,
merci pour ta réponse.
j'ai calculer le rayon de convergence:
limn->|an/an+1|=limn->|\frac{3^{n+2}-3}{3^{n+2}-1}|=1
pour le 3)
j'obtiens, en appliquant la même méthode:
f(x)=\frac{1}{4}(\sum_{n=0}^\infty (-(\frac{1}{3})^{n+1}+(\frac{1}{2})^{n+1}+(\frac{-1}{2})^{n+1}-(\frac{-1}{3})^{n+1})x^n) si |x|<1/3
Est ce juste?
merci pour vos réponses

Posté par
raymond Correcteurre : developpement en série entière 04-11-07 à 13:55

Je ne trouve pas les mêmes résultats.

Personnellement, j'aurais gardé x² en prenant (x²-4)(x²-9).

Mais gardons ta méthode. Je trouve :

3$\textrm g(x) = \fra{1}{30}\Big(\fra{1}{x-3}-\fra{1}{x+3}\Big) - \fra{1}{20}\Big(\fra{1}{x-2}-\fra{1}{x+2}\Big)

3$\textrm g(x) = -\fra{1}{90}\Big(\fra{1}{1-(x/3)}+\fra{1}{1+(x/3)}\Big) + \fra{1}{40}\Big(\fra{1}{1-(x/2)}+\fra{1}{1+(x/2)}\Big)

3$\textrm g(x) = \fra{1}{40}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}((\fra{x}{2})^n + (\fra{-x}{2})^n) - \fra{1}{90}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}((\fra{x}{3})^n + (\fra{-x}{3})^n)

Les termes de rang impair disparaissent. Finalement :

3$\textrm g(x) = \Bigsum_{p=0}^{+\infty}(\fra{1}{20.2^{2p}} - \fra{1}{45.3^{2p}})x^{2p}

A plus RR.

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 14:08

bonjour,
je ne comprends pas les coefficients 1/30 et 1/20. je pense que je devrai retrouver ces mêmes coefficients en faisant une décomposition en éléments simples ,non?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 14:11

je me suis trompée dans l'écriture de f(x) je suis désolée
f(x)=\frac{5}{x^4-13x^2+36}.
excusez-moi pour cette erreur.

Posté par
raymond Correcteurre : developpement en série entière 04-11-07 à 14:20

Pas grave : tu multiplies mon résultat par 5.

Cela te donne comme coefficient de x2p :

3$\textrm a_{2p} = \fra{1}{2^{2(p+1)}} - \fra{1}{3^{2(p+1)}}

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 15:28

merci pour ta réponse.
je voulais savaoir comment je pouvais calculer le rayon de convergence de cette série.
Habituellement, je calcule la limite de |an/an+1|, or dans le cas présent je ne sais pas si c'est encore valable.
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 16:16

Pouvez-vous m'aider stp?

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 04-11-07 à 17:34

bonjour,
j'ai essayé de développée en série entière:
f(x)=ln(\frac{1+x}{1-x})
or ln(1+u)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}*u^n/n
donc f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}*x^n/n+\sum_{n=0}^\infty x^n/n=\sum_{n=0}^\infty ((-1)^{n-1}+1)*x^n/n
j'ai réussi à calculer le rayon de convergence, j'obtiens 1
par contre je suis bloquée pour la fonction:
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}ln(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})
mon calcul me redonne le même résultat que pour f(x)
Pouvez vous m'aider?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : developpement en série entière 05-11-07 à 18:57

svp


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