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Développement en séries entières

Posté par
tibmaster
18-03-12 à 10:11

Bonjour à tous,

mon problème vient du développement en série entière de f:x->e^xsin(x)

Je pense donc au produit de Cauchy ce qui donne d'abord :
(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!})(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1!}) et en faisant le changement de variable dans la somme de droite j'obtiens:
(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!})(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}x^{n}}{n!})
Après il faudrait que la somme de droite aille de 0 à +\infty comme celle de gauche ...

Pourriez vous me débloquer ?

Posté par
alainpaul
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 10:22

Bonjour,

Au voisinage de  0 ,
f(x) = f(0) + xf'(0)+x^2/2f''(0)+...



Alain

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 10:33

donc f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0) au voisinnage de 0  , c'est Taylor ça , mais moi le développement je dois le faire pour tout x non ?

Posté par
alainpaul
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 10:40

Oui,


As-tu fait un graphique?


Alain

Posté par
kybjm
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:24

tibmaster  Peux tu nous dire combien vaut (-1)(n-1)/2   pour n = 4 ?...

  n ((-1)n/(2n+1)!).Xn  désigne la série formelle n bnXn  où bn = 0 si n est pair et , si n est impair ,  (-1)(n-1)/2/n!

Posté par
carpediem
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:37

salut

f(x) = Im (exp(1+i)x) .....

et le développement en série entière de eax est ....

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:38

euh...
C'est bizarre bn=0 si n est pair ... ex: si bn =2 on trouve bn=1/5!
C'est conventionnel alors ?

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:40

> carpediem : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} i^{k}

Et si on prend la partie Imaginaire ça serait que pour des puissances de i impaires c'est ça ?

Posté par
carpediem
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:45



eax = n=0 ...

puis remplacer a par 1 + i ... qu'on écrit sous forme exponentielle ..... puis on prend la parite imaginaire ...

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:53

il me semble que c'est ce que j'ai fait..?

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n(1+i)^n}{n!}

Ensuite j'ai remplacé avec la formule du binôme

Posté par
carpediem
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 11:57

ha oui .....

donc oui ....

....enfin si tu peux calculer simplement la somme intérieure ....

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 12:03

Bien...

En prenant les termes impairs, j'ai envie de dire qu'on a un truc du genre :
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ n!} \sum_{k=0}^{ ? } \binom{?}{2k+1}(-1)^k
Mais je vois pas où arrêter la somme, ça ferait du \frac{n-1}{2}

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 12:04

enfin plutôt \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ n!} \sum_{k=0}^{ ? } \binom{n}{2k+1}(-1)^k

Posté par
carpediem
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 13:47

à toi de voir proprement quelles sont les bornes ....et de ne considérer que les termes impairs convenables ....

et c'est pour cela que je parlais d'écrire 1 + i sous forme exponentielle, ce qui permettait de ne pas avoir cette sommme ....

Posté par
kybjm
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 18:02

f(x) = ex.sin(x) = Im(e(1+1)x) = Im( n (1+i)n.xn )

(1 + i) = 2 .ei/4 donc : f(x) = n 2n/2sin(n/4)

Posté par
kybjm
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 18:06

Correction :
f(x) = ex.sin(x) = Im(e(1+1)x) = Im( n (1+i)n.xn/n! ) =n 2n.2sin(n/4)xn/n!
  

Posté par
tibmaster
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 18:31

Oui en effet ça simplifie grandement les choses, parce qu'avec la somme il fallait mettre des parties entières aux bornes, ce qui est (un peu) lourd...

Merci à tous

Posté par
carpediem
re : Développement en séries entières 18-03-12 à 19:21

de rien

Posté par
alainpaul
re : Développement en séries entières 19-03-12 à 10:27

Bonjour,


On peut remarquer que les coefficients
des puissances 4èmes x^(4n) sont nuls.

" sin(n/4)x^n/n! ",
dans le développement proposé devrait figurer
un facteur \pi



Alain

Posté par
kybjm
re : Développement en séries entières 19-03-12 à 11:07

@ alainpaul
Qu'entends-tu par
dans le développement proposé devrait figurer un facteur

Posté par
alainpaul
re : Développement en séries entières 19-03-12 à 11:29

Oui,

J'obtiens un développement en x

f(x) = x+x^2+x^3/3+0x^4-x^5/30+...



Alain

Posté par
kybjm
re : Développement en séries entières 19-03-12 à 16:59

Je ne vois toujours pas de !



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