bonjour

x²-x^3+(11/12)x^4+O(x^5)

A vérifier
.

tu peux juste me donner la méthode (sans forcément entrer dans les détails)

pars du DL de ln(1+x) -facile- et élève au carré
.

je trouve la meme chose ..

on connait le develloppement de ln(1+x)
  Il suffit ensuite de multiplier les deux devellopement en ne conservant que les Xⁿ ou n est inferieur 4

  Ici il te suffit du DL₃(0) de ln(1+x) car en multipliant le le terme de degré 4  (1/4)x⁴ il serait d'un ordre trop elevé

il faut conserver les terme de degré inferieur ou egal a 4

Bonjour,
Il suffit de prendre la partie régulière du DL à l'ordre 3 de ln(1+x) au voisinage de 0 et de l'élever au carré. Ce qui donne si l'on ne garde que les termes de degré inf. ou égal à 4:

Par conséquent le DL de ln²(1+x) à l'ordre 4 en 0 est:

Dadou

ok merci
c pas plutot x²-x^3+(11/12)x^4+O(x^4) ?

ah ok j'viens de comprendre, merci à vous !

J'ai fait une erreur de calcul. Je recommence:

Par conséquent le DL de ln²(1+x) à l'ordre 4 en 0 est:

Dadou

oui c'est le petit to o(x⁴)   que tu cherches.

   Cependant, le devellopement donnée par mikayou peu etre bon si le coeff du terme en x⁵ est nul...

à voir!

Bon comme apparemment vous êtes tous très généreux j'me permet de vous en soumettre un autre (je sais j'abuse)
Développement limité à l'ordre3 en 0 de :
g(x) = e^1/(1+x) - e^1/(1-x)

fonction impaire => pas de termes constants ou en x²
.

f(0) = 0

f '(x) = 2.ln(1+x) /(1+x)
f '(0) = 0

f ''(x) = 2(1-ln(1+x))/(1+x)²
f ''(0) = 2

f '''(x) = 2(-(1+x)²/(1+x) -2(1+x)(1-ln(1+x))/(1+x)^4
f '''(x) = 2(-1 -2(1-ln(1+x))/(1+x)³
f '''(x) = 2(-3 + 2.ln(1+x))/(1+x)³
f '''(0) = -6

f ''''(x) =  2(2(1+x)³/(1+x) - (-3 + 2.ln(1+x)).3(1+x)²)/(1+x)^6
f ''''(x) =  2(2 - (-3 + 2.ln(1+x)).3)/(1+x)^4
f ''''(0) = 2(2 + 9) = 22

DL : 2x²/2! -6x³/3! + 22x^4/4! + O(x^5)
DL : x² - x³ + (11/12).x^4 + O(x^5)  
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Sauf distraction.  

le terme en x⁵ n'est pas nul, c'est -(5/6)x⁵

( les autres ceux sont les meme par unicité du DL )

Je confirme, le terme en x^5 n'est pas nul.

f '''''(0) = -100

-100/5! = -100/120 = -5/6

Le terme en x^5 est -(5/6)x^5

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Snif personne pour ma 2è question :

Développement limité à l'ordre3 en 0 de :
g(x) = e^1/(1+x)-e^1/(1-x)

e sera en facteur
.

tu procedes par composition des DL tu cunnais ceux de 1/(1+x) et 1/(1-x)   ( en DL₃(0) au maximum )

ensuite il y a une micro astuce ( tu factorise par exp(1) )
pour avoir un truc du type  exp(u)   avec u qui tend vers 0 de la meme maniere que x

par soustraction, ya bcp de terme qui s'annule, du a l'imparité de la fonction

perso je trouve  (e/3)x³+o(x³)

oui e sera en facteur

salut Kermite

vu la courbe y=exp(1/(1+x))-exp(1/(1-x)) et sa tgte en O, je pense que le terme en x du DL n'est pas nul

il doit être négatif, de plus

A vérifier
.

merci pour ces précisions.

effectivement, le terme en x est -2x

-2ex, non ?
.

g(x) = e^(1/(1+x)) - e^(1/(1-x))
g(0) = e - e = 0

g'(x) = -(1/(1+x)²).e^(1/(1+x)) - (1/(1-x)²).e^(1/(1-x))
g'(0) = -e - e = -2e

...

Sauf erreur, on arrive a :

g''(0) = 0
g'''(0) = -26e

DL = -2e.x - 26.e.x³/3! + O(x³)

DL = -2e.x - (13/3).e.x³ + O(x³)
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Sauf distraction.