Bonjour,
Dans un exercice, en considérant la fonction , on me demande dans un premier temps de calculer (), puis d'en déduire un DL de f en 0 à l'ordre . J'ai déterminé le premier, calcul, qui est égal à . Mais je ne vois pas comment, de ce résultat, on peut déduire un DL de la fonction... Qu'en pensez-vous?
Merci d'avance.
Bonjour,
tu peux en déduire, avec x=0, que f'(0)=1, puis en redérivant cette égalité ((1+x²)f'(x)+xf(x)=1), tu obtiens les dérivées en 0 de f assez facilement.
Bonjour,
Je suis désolé, mais je n'ai pas bien compris ta démarche..Pourrais-tu être plus "précise" stp?
Salut !
ou encore :
ta fonction est C infinit, tu as donc l'existence d'un dévelopement limité, et elle est impaire donc les terme d'ordre pair sont nul.
f(x) = a1*x+a2*x^3+a3*x^5+a4*x^7 +o(x^7)
exprime f'(x) en fonction de ca (et d'un o(x^6) )
et remplace tous ca dans l'expression précedente tu obtiendra un petit systeme d'équation tres simple qui te donnera les constantes.
J'utilise la relation qu'on t'a fait établir pour obtenir les dérivées successives de f en 0, puis formule de taylor.
Ok, merci de vos réponses! Je vais privilégier la méthode de lafol, car je crois que c'est ce qu'on attend! Pour info, je trouve , , , etc... ok?
Merci encore!
C'est parfait ainsi!
Cependant, je tiens à préciser qu'il fallait y penser au fait que la fonction était impaire.. Personnellement, je n'aurais pas eu l'idée..
P.S: comment pourrais-je justifier (pour moi-même!) que ? Mêmes propriétés que le sinus?
sh est impaire (par construction : c'est la partie impaire de l'exponentielle), et argsh est sa réciproque
Toute fonctionf peut s'écrire comme somme d'une fonction paire p et d'une fonction impaire i :
p(x)=(f(x)+f(-x))/2 et i(x)=(f(x)-f(-x))/2.
Si tu pars de l'exponentielle, tu obtiens ch pour la partie paire et sh pour la partie impaire.
Si une fonction f est impaire et bijective, sa réciproque g est impaire aussi :
x=f(y) revient à y=g(x),
f(-y) = - f(y) (car f est impaire) = -x,
donc g(-x)= - y = - g(x) .
J'oubliais: une dernière question.
Quand on a remplacé les expressions de f'(x) et f(x) (selon Ksilver) dans l'égalité trouvée initialement, on a deux DL d'ordre différents! En effet, f a un ordre 6, et f' un ordre 7! Du coup, peut-on quand même réaliser ce qu'on a fait?
Peut-être n'ai-je pas été trop clair:
On a o(x^7) et o(x^6) ==> 2 ordre différents.
Et étant donné qu'on veut les reporter dans l'expression , a-t-on le droit, et si oui pourquoi?
Bonjour,
tu sais que dans le dl de f il n'y a que des termes impairs, dans celui de f' il n'y en a que des pairs. ordre 6 ou 7, pour f', c'est pareil !
Bonjour,
Là n'est pas ma question je crois...^^
En fait, ce qui me soucie, c'est qu'au final on veur f à l'ordre 7. On a donc écrit la forme de f à l'ordre 7, puis la dérivée de f est à l'ordre 6, logique. Mais du coup, en remplaçant les deux expressions dans l'égalité de départ, on a des ordres différents! C'est ce qui me soucie...
Exact en effet... mais normalement, si on avait eu tous les termes (impairs comme pairs), elle aurait belle et bien été d'ordre 6 n'est-ce pas? Et à ce moment-là, le calcul était-il faisable?
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