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Niveau Maths sup
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Développement limité

Posté par
matix
09-02-07 à 17:29

Bonjour,

Dans un exercice, en considérant la fonction f(x)=\frac{argsh(x)}{\sqrt{1+x^2}}, on me demande dans un premier temps de calculer (1+x^2)f'(x)+xf(x) (\forall x), puis d'en déduire un DL de f en 0 à l'ordre 7. J'ai déterminé le premier, calcul, qui est égal à 1. Mais je ne vois pas comment, de ce résultat, on peut déduire un DL de la fonction... Qu'en pensez-vous?

Merci d'avance.

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 17:35

Bonjour,
tu peux en déduire, avec x=0, que f'(0)=1, puis en redérivant cette égalité ((1+x²)f'(x)+xf(x)=1), tu obtiens les dérivées en 0 de f assez facilement.

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 17:39

Bonjour,

Je suis désolé, mais je n'ai pas bien compris ta démarche..Pourrais-tu être plus "précise" stp?

Posté par
Ksilver
re : Développement limité 09-02-07 à 17:40

Salut !

ou encore :
ta fonction est C infinit, tu as donc l'existence d'un dévelopement limité, et elle est impaire donc les terme d'ordre pair sont nul.

f(x) = a1*x+a2*x^3+a3*x^5+a4*x^7 +o(x^7)

exprime f'(x) en fonction de ca (et d'un o(x^6) )

et remplace tous ca dans l'expression précedente tu obtiendra un petit systeme d'équation tres simple qui te donnera les constantes.

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 17:41

J'utilise la relation qu'on t'a fait établir pour obtenir les dérivées successives de f en 0, puis formule de taylor.

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 17:42

Bonjour, Ksilver, jolie ta méthode !

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 18:17

Ok, merci de vos réponses! Je vais privilégier la méthode de lafol, car je crois que c'est ce qu'on attend! Pour info, je trouve f'(0)=1, f''(0)=0, f^{(3)}=-4, etc... ok?

Merci encore!

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 18:19

OK, mais la méthode de Ksilver est tout de même plus élégante (et plus rapide, il me semble)

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 18:22

Je vais essayer... !

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 18:49

C'est parfait ainsi!

Cependant, je tiens à préciser qu'il fallait y penser au fait que la fonction était impaire.. Personnellement, je n'aurais pas eu l'idée..



P.S: comment pourrais-je justifier (pour moi-même!) que argsh(-x)=-argsh(x)? Mêmes propriétés que le sinus?

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 18:51

sh est impaire (par construction : c'est la partie impaire de l'exponentielle), et argsh est sa réciproque

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 19:03

Peux-tu un peu détailler stp?

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 19:09

Toute fonctionf peut s'écrire comme somme d'une fonction paire p et d'une fonction impaire i :
p(x)=(f(x)+f(-x))/2 et i(x)=(f(x)-f(-x))/2.
Si tu pars de l'exponentielle, tu obtiens ch pour la partie paire et sh pour la partie impaire.
Si une fonction f est impaire et bijective, sa réciproque g est impaire aussi :
x=f(y) revient à y=g(x),
f(-y) = - f(y) (car f est impaire) = -x,
donc g(-x)= - y = - g(x) .

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 19:11

Merci de ces précisions! Bonne soirée.

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 09-02-07 à 19:18

Bonsoir !

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 19:29

J'oubliais: une dernière question.
Quand on a remplacé les expressions de f'(x) et f(x) (selon Ksilver) dans l'égalité trouvée initialement, on a deux DL d'ordre différents! En effet, f a un ordre 6, et f' un ordre 7! Du coup, peut-on quand même réaliser ce qu'on a fait?

Posté par
matix
re : Développement limité 09-02-07 à 19:46

Peut-être n'ai-je pas été trop clair:

On a f(x) = a1*x+a2*x^3+a3*x^5+a4*x^7 +o(x^7) et f'(x) = a1+....+o(x^6) ==> 2 ordre différents.

Et étant donné qu'on veut les reporter dans l'expression (1+x^2)f'(x)+xf(x), a-t-on le droit, et si oui pourquoi?

Posté par
matix
re : Développement limité 10-02-07 à 01:09

Personne n'a d'idée?

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 10-02-07 à 13:04

Bonjour,
tu sais que dans le dl de f il n'y a que des termes impairs, dans celui de f' il n'y en a que des pairs. ordre 6 ou 7, pour f', c'est pareil !

Posté par
matix
re : Développement limité 10-02-07 à 13:24

Bonjour,

Là n'est pas ma question je crois...^^
En fait, ce qui me soucie, c'est qu'au final on veur f à l'ordre 7. On a donc écrit la forme de f à l'ordre 7, puis la dérivée de f est à l'ordre 6, logique. Mais du coup, en remplaçant les deux expressions dans l'égalité de départ, on a des ordres différents! C'est ce qui me soucie...

Posté par
lafol Moderateur
re : Développement limité 10-02-07 à 13:26

La dérivée de f est aussi à l'ordre 7, puisque le terme supplémentaire (entre 6 et 7) est nul !

Posté par
matix
re : Développement limité 10-02-07 à 13:27

Exact en effet... mais normalement, si on avait eu tous les termes (impairs comme pairs), elle aurait belle et bien été d'ordre 6 n'est-ce pas? Et à ce moment-là, le calcul était-il faisable?

Posté par
Ksilver
re : Développement limité 10-02-07 à 17:02

dans ce cas il aurait peut-etre fallut regarder un ordre de plus. mais oui ca aurait toujour été faisable.



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