Bonsoir,
Il s'agit d'une limite, on n'a pas besoin de chercher un DL de cette fonction, il nous suffit un équivalent du numérateur et un autre de dénominateur.

je ne comprend pas comment je dois faire alors.
Pouvez vous m'expliquer svp?

Ecrivez un DL de la fonction N(x)=Argth(x)-sin(x) ensuite pour déduire un équivalent on garde que le PREMIER TERME DU DL. Faites la même chose pour le dénominateur puis "quotientez" les deux équivalents enfin un passage à la limite donne le résultat.
Est ce que c'est clair?

l'ordre 3 semble suffisant pour cette expression.
Pour trouver la limite il te suffit de prendre la limite de ton developpement limité final (n'oublie pas qu'aprés avoir developpé chaque fontion,l'idée est de faire un Dl avec le dénominateur en cherchant une forme du type 1/(1-u) ou u tend vers 0

Exemple
x/(1-cos(x))=x/(1-(1-x²/2-x^4/24+o(x^4)
=x/(x²-x^4/24+o(x^4))=(x/x²)*1/(1-x²/24+o(x²))        (on prend u=x²/24 qui tend vers 0 quand x tend vers 0)

=(1/x)*(1+x²/24+o(x²))=1/x+x/24+o(x²) qui tend ver +infini

L'idédes équivalent ne marche pas car "on n'additionne pas des équivalents",par contreon peut additionner de developpements limités

j'ai:
DL de sin(x)=x-(x^3/3!)+...
DL de Argth(x)=x+(x^3/3)+...
DL de Arcsin(x)=x+(x^3/6)+...
DL de th(x)=x-(x^3/3)+...

ensuit comment je fais une fois que j'ai calculer le numérateur et le dénominateur?

N(x)=Argth(x)-sin(x)=(x+(x^3/3))-(x-x^3/3!)+o(x^3)équivaut à (1/6)x^3
D(x)=Arcsin(x)-th(x)=(x+(x^3/6))-(x-(x^3/3))+o(x^3)équivaut à (1/2)x^3
Sauf erreur de calcul.

Merci beaucoup et comment je fais maintenant pour passer à la limite?

L'équivalence est compatible avec le quotient donc un équivalent de N(x)/D(x) est bien [(1/6)x^3]/[(1/2)x^3]=2/6=1/3. c'est bien la limite sans aucune difficulté.

merci beaucoup

il n'y aurai pas une erreur dans N(x. je pense qu'il équivaut à (1/2)x^3
don la limite final est 1.