Niveau autre

développement limité

Posté par
Philibert 07-12-07 à 19:06

bonjour

qui peut m'aider à amorcer cet exercice ?

$lim_{x\to 0} f(x)$

f(x) = ( $a^x$ - $b^x$ ) / x

Je pense qu'il faut utiliser les d.l . mais je ne connais que ceux sur $e^x$
et ln x...

merci d'avance

Posté par re : développement limité 07-12-07 à 19:17

salut,
indice :
il faut reconnaitre 2 dérivées en 0.

D.

Posté par d.l. 07-12-07 à 19:24

rebonjour
un petit indice supplémentaire stp !

Posté par re : développement limité 07-12-07 à 19:31

2 ème indice :
$4$a^x -b^x = (a^x -1) + (1-b^x)$

D.

Posté par limite en zéro 07-12-07 à 20:08

merci pr les indices ; j'espère que j'en fais bon usage : merci de me dire ce que tu en penses.

de même que   $\lim_{x\to \0}$ $\frac{e^x - 1}{x}$ = ln e

si j'écris   $\lim_{x\to \0}$ $\frac{a^x - 1}{x}$ = ln a

       et   $\lim_{x\to \0}$ $\frac{1 - e^x }{x}$ = - ln b

alors la somme des 2 fractions est ln a - ln b soit ln(a/b).

Est-ce bien ça ?

Posté par correctif 07-12-07 à 20:10

Ds la dernière limite c'est $b^x$ et non $e^x$

Posté par re : développement limité 07-12-07 à 21:25

ok !

Posté par merci 08-12-07 à 12:14

merci bcp pr ton aide. grâce à tes indices j'ai pu avancer, même si j'ai 'extrapolé' en partant de la limite connue sur $e^x$ en l'étendant à tte puissance, résultat que je ne me souviens pas avoir appris tel que.

ceci dit, j'étais quasiment sûr de mon résultat puisque je l'avais testé avec un logiciel traceur de courbes.

Encore merci pr tes conseils.

Au plaisir..

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