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développement limité
Bonsoir , j'ai l'expression (1+sin(ax))^x et je dois calculer son développement limité à l'ordre 3 en 0 .
Je fais :
e^(x ln(1+sin(ax))
e^u = 1 + u + (1/2)u² + (1/6)u³ , donc le DL est :
1 + x*ln(1+sin(ax)) + (1/2)x² * ln(1+sin(ax))² + (1/6)x³ * ln(1+sin(ax))³
Je peux factoriser par x*ln(1+sin(ax)) ça donne :
1 + x*ln(1+sin(ax)) [ 1 + (x*ln(1+sin(ax)))/2 + (x*ln(1+sin(ax)))²/6 ]
mais ça ressemble pas bcp à un polynome , qu'en pensez vous ?
merci
Bonsoir.
Effectivement si on pose f(x) = [1+sin(ax)]x, on aura :
f(x) = exln[1+sin(ax)]
Je commence par sin(ax) :
Donc :
C'est du style ln(1+X) avec X tendant vers 0. On utilise donc le développement de ln(1+X) :
On remplace X par :
en se limitant à l'ordre 3 (tous les termes en x4, x5, ...) sont intégrés dans o(x3).
J'obtiens :
Alors :
Enfin :
On trouve le type eX, avec X tendant vers 0. On va donc utiliser :
avec :
Je te passe les calculs (peu de termes sont à conserver). Je trouve enfin :
ok c'est compris et donc le développement limité total de ((1+sin(ax))^x) - 1) / x c'est ce que tu as trouvé , on rajoute 1 et on divise par x ?
ok c'est compris je vais bien m'entrainer sur les développements limités ça m'a encouragé tes interventions ça commence à rentrer , merci bcp .
Les développements limités sont ennuyeux pour trois raisons principales :
1°) il faut déjà connaître tous les développements limités des fonctions classiques en 0
2°) les calculs deviennent très rapidement fastidieux
3°) lorsqu'on les utilise pour des limites, on ne sait jamais par avance l'ordre qu'il faut choisir.
Bonne soirée et à plus RR.
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