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Niveau Maths sup
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développement limité

Posté par matou (invité) 12-02-05 à 19:47

Salut,

  J'ai deux exercices que je n'arrive pas à résoudre:

  VOICI LE PREMIER:

  Soit f: x+[/sup]* tel que f(x)=(1+x)[sup](1/x)
On cherche une famille de fonctions (f) (,)2 avec f(x)=x(lnx), telle que:

   f(x)=a[/sub]f(x)+o(1/x3)    en +


ET VOICI LE SECOND:

   on se donne la fonction:

    +*-->
        x--> f(x)=((artg(1+x))/(artg(x)))(x*x)[sup][/sup]

   donner la limite de f en +

(On pourra montrer l'égalité suivante pour tout x +*:arctg(x)+artg(1/x)=/2).

                           Merci d'avance, Au revoir
                                   MATH

Posté par matou (invité)complément 12-02-05 à 19:50

Il manque un dans l'égalité à montrer dans le second exercice. Il faut bien sûr lire
pour tout x+*.
  
                        MAth

Posté par matou (invité)développement limité 13-02-05 à 18:21

SAlut,

    Pour le second exercice, j'ai trouvé à la calculatrice que la limite était 1 mais je n'arrive pas à le prouver.
                               Merci d'avance, Au revoir
                                MATH

Posté par gianpf (invité)re : développement limité 13-02-05 à 21:07

Bonsoir ,

1) Pour x > 0 ,

(1+x)^(1/x) = e^u où u = (1/x)ln(1+x)

a)

ln(1+x) = ln(x) + ln(1 + 1/x)

puis on développe ln(1 + 1/x)  (formule ln(1 + t))

on obtient u = ln(x)/x + 1/x^2 - 1/(2*x^3) + ...

b)

e^u = 1 + u + u^2/2 + ...

On remplace et on s'arrête dès que l'on a assez de termes

On obtient (je crois)

f(x) = 1 + ln(x)/x + l(x)^2/(2*x^2) + 1/x^2 -1/(2*x^3) + ln(x)/x^3 + ...

On appelle ça développement asymptotique





Posté par gianpf (invité)re : développement limité 13-02-05 à 21:09

Lire :

f(x) = 1 + ln(x)/x + ln(x)^2/(2*x^2) + 1/x^2 -1/(2*x^3) + ln(x)/x^3 + ...

Posté par matou (invité)développement limité 15-02-05 à 19:28

SAlut,

Pour l'exercice 2, je ne vois comment utiliser l'indication. Je pense qu'il faut faire un développement asymptotique mais je ne vois pas lequel.

                               Merci d'avance ,Au revoir,
                        MATH

Posté par gianpf (invité)re : développement limité 15-02-05 à 20:06

La limite est égale à e^(2/pi) (calculée par mathematica)



Posté par matou (invité)développement limité 21-02-05 à 18:03

Salut,

Dans le second exercice, je n'arrive pas à utiliser l'indication pour arriver à la réponse attendue. Je pense qu'il faut utiliser un développement asymptotique mais je ne vois pas lequel et de quelle façon.

                              Merci d'avance, Au revoir
                                           MATH

Posté par jean-émile (invité)re : développement limité 21-02-05 à 23:37

Bonsoir ,

1) Il faut démontrer que , pour tout x >0 , Arctan(x) + Artan(1/x) = /2

Pour cela , soit g la fonction x ---> Arctan(x) + Arctan(1/x)

g est dérivable sur ]0 , +infini[

déterminer g'(x) puis en tirer les conséquences

2 )

Utiliser

Arctan(x) = /2 - Arctan(1/x)

Arctan(1+x) = /2 - Arctan(1/(1+x))

Se rappeler que u^v = e^v*ln(u) pour u > 0

On peut ensuite chercher un D.L.


Posté par matou (invité)développement limité 22-02-05 à 15:20

Salut,

  Après transformation, j'ai trouvé le développement limité de arctg(1+x) (à l'aide de l'égalité arctg(1+x)=/2-arctg(1/(1+x))   )et celui de 1/(arctg x) mais ensuite je suis bloqué et je n'arrive pas à réaliser le DL de (arctg(1+x))/(arctg(x)). De plus je n'arrive pas à utiliser des expressions de la forme ln(1+...) ou ln(1-...) pour pouvoir déterminer le DL de l'expression souhaitée.

                        Merci à Jean Emile pour sa réponse qui m'a aidé à avancer.
                                 MATH

Posté par jean-émile (invité)re : développement limité 22-02-05 à 17:45

Il y a peut-être plus simple que des D.L. , mais je ne vois pas .

Voici des résultats intermédiaires (calculés avec mathematica et non pas à la main ! Trop long à la main) . C'est d'ailleurs ce qui me fait dire qu'il y a certainement une méthode plud simple.



développement limité

Posté par matou (invité)développement limité 23-02-05 à 14:08

Salut,

   Je ne comprends pas la façon avec laquelle tu as trouvé le DL de (/2-arctg(1/(1+x))) et celui de: exp[x^2ln[/2-Arctg(1/(1+x))/(/2-Arctg(1/x))]].
   De plus, par le calcul, je ne retrouve pas le même coefficient de (1/x^2) pour le DL de: x^2ln[/2-Arctg(1/(1+x))/(/2-Arctg(1/x))].


                                      Merci d'avance, Au revoir
                                                MATH

Posté par matou (invité)développement limité 25-02-05 à 13:03

Salut,

    J'ai des problèmes pour retrouver le DL de [/2-arctg(1/(1+x))].Je n'arrive pas à obtenir ton résultat à la main.


                                       Merci d'avance, Au revoir
                                               MATH

Posté par matou (invité)développement limité 27-02-05 à 15:25

Salut,

   Je ne comprends pas la méthodee avec laquelle on peut trouver le DL de /2-Arctg(1/(1+x)).


                                          Merci d'avance,Au revoir
                                                   MAth

Posté par matou (invité)Recherche d un développement limité 01-03-05 à 13:26

Salut,

   J'ai des difficultés pour trouver le DL de (/2)-arctg(1/(1+x)).
   J'ai trouvé le DL de 1/(1+x) mais je ne trouve pas celui de arctg(1/(1+x)).

                                         Merci d'avance, Au revoir
                                                  MATH

*** message déplacé ***

Posté par
franzre : développement limité 02-03-05 à 00:48

Je partirais sur quelque chose d'un peu moins compliqué

\Large \array{ccl$\(\frac {arctan(1+x)}{arctan(x)}\)^{x^2} & = & e^{x^2\[ \ln(arctan(1+x))-\ln(arctan(x))\]} \\ & = & e^{x^2\[ \ln\(\frac \pi 2 - arctan(\frac 1 {1+x})\)-\ln\(\frac \pi 2 - arctan(\frac 1 {x})\)\]} \\ & = & e^{x^2\[ \ln\(\frac \pi 2\) + \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 {1+x})\)-\ln\(\frac \pi 2\) - \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 {x})\)\]} \\ & = & e^{x^2\[ \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 {1+x})\) - \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 {x})\)\]} }

\begin{tabular} \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 {1+x})\) & = &\ln\(1-\frac 2 \pi arctan(\frac 1 x \frac 1{1+\frac 1 x})\) \\ & = & \ln\(1-\frac 2 \pi arctan(\frac 1 x - \frac 1 {x^2} +o(\frac 1 {x^2} )) \) \\ & = & \ln\(1-\frac 2 \pi \(\frac 1 x - \frac 1 {x^2} +o(\frac 1 {x^2} ) \) \) \\ & = & -\frac 2 \pi \(\frac 1 x - \frac 1 {x^2}\) \, - \, \frac 1 2 \(\frac 2 \pi \frac 1 x\)^2 +o(\frac 1 {x^2} )\end{tabular}

\begin{tabular} \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 x)\) & = & \ln\(1-\frac 2 \pi \(\frac 1 x +o(\frac 1 {x^2} ) \) \) \\ & = & -\frac 2 \pi \(\frac 1 x \) \, - \, \frac 1 2 \(\frac 2 \pi \frac 1 x\)^2 +o(\frac 1 {x^2} )\end{tabular}

La différence des 2 DL ci-dessus conduit à
\red \ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 {1+x})\)-\ln\(1 - \frac 2 \pi arctan(\frac 1 x)\) = \frac 2 {\pi x^2} + o(\frac 1 {x^2} )

la limite cherchée vaut donc
                  \Large \red \lim_{x \to \infty} \(\frac {arctan(1+x)}{arctan(x)}\)^{x^2} = e^{\frac 2 \pi}

Posté par matou (invité)développement limité 02-03-05 à 12:53

Salut,

    Merci pour vos réponses Franz et Jean Emile



                                        MATH

Posté par
franzre : développement limité 02-03-05 à 17:34

avec plaisir

Posté par mimiettiti (invité)DL 05-03-05 à 19:05

bonjour,
dans l'exercice 1 posté par matou,
un fois que l'on trouve
f(x) = 1 + ln(x)/x + ln(x)^2/(2*x^2) + 1/x^2 -1/(2*x^3) + ln(x)/x^3
je ne comprend pas ce qu'il faut faire?ni a quoi ca nous a servi de faire ca?


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