bonjour, voila est ce quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver le DL à des ordres élevés comme 6 ou 7 des fonctions arsin(x) , arccos(x), arctan(x) sans passer par la formule de taylor
j'ai essayé d'utiliser la dérivée et d'intégrer successivement mais je bloque
merci de votre aide
Dans les formulaires de développements limités usuels, le terme général d'ordre n est explicité; il permet de calculer le terme d'un ordre quelconque.
Pour Arcsin et Arcos, tu peux utiliser le fait que arcsin'(x) = (1-x)^(-1/2)
ensuite, tu connais le développement limité de
x->(1+x)^a
pour a réel (il faut utiliser la formule de taylor, mais c'est plus facile comme ça)
et ensuite tu intègres le DL en remplaçant bien sûr a par -1/2 et x par -x.
De même pour arcos.
Pour arctan, il y a plus simple
arctan'(x) = 1/(1+x²)
tu connais bien sûr le DL de 1/(1-x) [somme des x^n]
tu remplaces donc x par -x² et tu intègres.
par exemple le DL en 0 de arccos(x) à l'ordre 7 :
on a arccos'(x)=-(1+(-x2))-1/2
(1+x)-1/2=1-(x/2) -(3x2/8) -(5x3/8) +o(x3)
d'où (1+(-x2))-1/2=1 +(x2/2) + (3x4/8) + (5x6/8) +o(x6)
du coup arccos(x)=(/2) -x -(x3/6)- (3x5/40) -(5x7/56) +o(x7)
?
Bonjour Houm !
Une primitive est définie à une constante additive près : la dérivée
de est mais si on intègre , on trouve , en
sous-entendant que l'on peut ajouter n'importe quelle constante.
Ici, la constante vaut 3 pour retrouver notre fonction initiale.
Dans le cas du DL de arccos(x) obtenu par primitive, il faut prendre en compte la constante arccos(0) = pi/2...
Le développement limité d'une fonction commence par .
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