Bonjour,

C'est un cas "pathologique" qui sert d'ailleurs de contre-exemple :
Tu peux montrer par récurrence que la fonction et toutes ses dérivées ne sont pas définies en 0, mais néanmoins qu'elles ont une limite nulle en 0. Il n'existe donc pas de développement limité en 0.

ok très bien, pourtant j'ai vu dans mon cours que on pouvait faire des développement limité en l'infini !! c'est donc faux ?

Si on admet que la valeur de la dérivée n-ième en 0 est égale la limite de cette dérivée en 0, soit 0, (une sorte de prolongement par continuité de la dérivée en 0), alors on peut dire que le développement limité est nul à tout ordre. Cela traduit le fait que la fonction "décolle" de 0 plus lentement que n'importe quelle puissance de x.